博士！
今回からいよいよ「積分」だね！微分が「グラフの傾きを調べる計算」だったのに対して、積分は「微分を巻き戻して元に戻す計算」なんだよね？
その通りじゃ。
微分と積分は、表裏一体の逆の計算関係にあるのじゃよ。
でも教科書を見たら、積分の計算結果のうしろに謎の「+ C」が付いてて混乱してるんだ。
なんで元に戻すだけなのに、勝手に「+ C」なんて記号を付けなきゃいけないの？
実に良い疑問じゃな、すくぞう！実は微分という計算を行うと、元の式にあった「ある数字」が消えてなくなってしまうのじゃ。
その消えた数字を補うために必要なのが「積分定数 C」なのじゃよ。
今回は、なぜ微分で数字が消えるのか、そして「+ C」の正体について順番に紐解いていくとしよう。
微分すると「数字（定数項）」が消えてゼロになる理由
微分すると数字が消えちゃうって、どういうこと？
具体例で考えてみよう。
y = x^2 + 3 という式を微分すると、どうなるかの？
(x^2)' = 2x で、数字の 3 は微分すると 0 になるから、答えは 2x だね。
そうじゃ。
では y = x^2 - 100 や y = x^2 を微分するとどうなるかの？
えーっと、どちらも数字の部分は 0 になるから、やっぱり答えは 2x になるよ。
そうなのじゃ！
元の式が「+3」であれ「-100」であれ「+0」であれ、微分してしまうと数字（定数項）はすべて 0 になって消えてしまい、どれも同じ 2x になってしまうのじゃよ。
微分の巻き戻し（不定積分）で「元にあった数字」が特定できない問題
あ！分かったぞ！
導関数の 2x から「微分する前の式」を巻き戻そうとしても、x^2 だったことは分かっても、後ろにどんな数字がついていたかまでは分からないんだ！
見事な着眼点じゃな、すくぞう！
2x を巻き戻した元の式は、x^2 + 3 だったかもしれないし、x^2 - 100 だったかもしれない。
元の数字が何であったか、一つに特定（決定）できないのじゃな。
だから「何か数字がついていたかもしれない」という意味で、代わりに「+ C」って書いておくんだね！
その通りじゃ。
この「確定できない定数」のことを数学では「積分定数（せきぶんていすう）」と呼び、英語の Constant（定数）の頭文字をとって C と書くのじゃよ。
このように、定数が決まらないまま求める積分のことを「不定積分（ふていせきぶん）」と呼ぶのじゃ。
定数が「定まらない」から「不定」積分なんだね！
名前の意味も納得できたよ！
ちなみに、微分すると f(x) になる元の式 F(x) のことを、数学では f(x) の「原始関数（げんしかんすう）」と呼ぶのじゃ。
微分する前の元々の関数という意味じゃな。
大文字の F(x) を使うのが一般的な記法なのじゃよ。
不定積分の公式と「+ C」の書き方
積分の計算記号って、あのヘビみたいな記号を使うんだよね？
そうじゃ。
あの記号は「インテグラル（\int）」と呼び、後ろにつく dx とセットで「x で積分する」という意味を表すのじゃ。
\int x^n dx = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + C
微分と逆だから、肩の数字 n に 1 を足して、その数字で割り算（逆数を掛ける）すればいいんだね！
見事な分析じゃ。
たとえば x^2 を積分すると、肩の数字 2 に 1 を足して 3 になり、前に \dfrac{1}{3} がつくから \dfrac{1}{3}x^3 + C になるのじゃよ。
テストで最後のお尻に「+ C」を書き忘れるとバツになっちゃうのは、消えた数字の可能性を無視したことになっちゃうからなんだね。
その通りじゃ。
C を付け忘れると「元の数字は0でした」と決めつけたことになってしまうからの。
演習問題：不定積分の計算とCの表記
問題 1 の解答・解説
各項ごとに不定積分の公式 \int x^n dx = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + C を適用する。
第1項：\int 3x^2 dx = 3 \times \dfrac{1}{3} x^3 = x^3
第2項：\int (-4x) dx = -4 \times \dfrac{1}{2} x^2 = -2x^2
第3項：\int 1 dx = 1x = x
これらをまとめ、最後に積分定数 C を加える。
\int (3x^2 - 4x + 1) dx = x^3 - 2x^2 + x + C
答：x^3 - 2x^2 + x + C （ただし C は積分定数）
問題 2 の解答・解説
f'(x) を不定積分して f(x) の一般形を求める。
f(x) = \int (2x + 3) dx = x^2 + 3x + C （C は積分定数）
条件 f(1) = 2 より、x = 1 を代入する。
1^2 + 3(1) + C = 2
4 + C = 2
C = -2
求めた C = -2 を f(x) の式に代入する。
答：f(x) = x^2 + 3x - 2
まとめ：積分定数+Cは「微分で消えた数字」を補う必須の記号
微分すると数字が0になって消えちゃうから、巻き戻すときに元の数字を補うために「+ C」をつけるんだね！
問題2みたいに途中の条件が分かれば、消えた数字 C の正体も特定できるんだ！
その通りじゃ。
消えた数字の可能性を残すのが「不定積分」であり、条件によって数字を特定するのが関数の復元なのじゃよ。
不定積分の謎が解けて納得できたよ！
でも博士、これってただ式の形を復元してるだけだよね？
教科書には「積分を使うと面積が求まる」って書いてあるけど、微分の逆計算と面積に一体何の関係があるの？
ふむ。
本来まったく無関係に見えた「接線の傾き（微分）」と「図形の面積（積分）」が、実は表裏一体でつながっているという歴史的大発見「微積分学の基本定理」なのじゃよ。
微分の逆計算で面積が求まる理由……
すごく気になってきたよ！
次回もよろしくね、博士！
次回はステップ7「最大の謎『なぜ微分の逆計算で面積が求まるのか？』」に進むとしよう。
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