【比例・反比例】なぜy=axになるのか？関数の本質とグラフが直線・双曲線になる理由

ふむ、方程式を乗り越えたと思ったら、今度はアルファベットの小文字 a や y が入り乱れて、戸惑ってしまう気持ちはよく分かるぞい。

じゃが、すくぞうが感じているそのモヤモヤは、実は数学の視点が「静止画」から「動画」へと進化した証拠なのじゃ。

前回学んだ方程式は、「天秤が釣り合っている、ある特定の一瞬」を切り取って未知数を当てる道具じゃった。

それに対して、これから学ぶ「関数」は、数量がコロコロと移り変わっていく「全体のつながりやルール」そのものを捉える道具なのじゃよ。

なぜ比例が掛け算の式 y = ax になり、反比例が分数の式 y = \dfrac{a}{x} になるのか。

そして、なぜそのグラフがまっすぐな直線や2本のカーブを描くのか。

今回も暗記に頼らず、その仕組みをひとつずつ解き明かしていこうかの。

「関数」という言葉の漢字に引っ張られると、難しく感じてしまうの。

まずは身近な「自動販売機」を思い浮かべてみるのじゃ。

自動販売機に130円を入れて「お茶」のボタンを押したら、下から何が出てくるかの？

そうじゃな。お茶のボタンを押したのに、ある時はリンゴジュースが出てきたり、ある時は何も出てこなかったりしたら困ってしまうじゃろう。

「あるボタンをひとつ押せば（入力を決めれば）、対応する飲み物がただひとつに決まって出てくる（出力が決まる）」。

この仕組みこそが、数学でいう「関数」の本質なのじゃ。

そうじゃ。数学の世界では、ボタン（入力）が x で、出てくる飲み物（出力）が y じゃ。

教科書には「x の値を決めると、それにともなって y の値がただひとつ決まるとき、y は x の関数である」と書いてある。

例えば、「1個100円のリンゴを x 個買ったときの代金 y 円」を考えてみるのじゃ。

x = 1（1個）と決めれば、代金は y = 100 円とただひとつに決まる。

x = 3（3個）と決めれば、代金は y = 300 円とただひとつに決まるじゃろう。

このように、片方を決めればもう片方が自動的にロックオンされる関係を「関数」と呼ぶのじゃよ。

良い着眼点じゃな。実は英語では、関数のことを「function（ファンクション）」と呼ぶのじゃ。

機能や働き、という意味じゃな。まさに自動販売機の機能そのものじゃろう。

そして昔、この言葉が東洋に入ってきたときには「函数」という漢字が当てられておった。

その通りじゃ。「函（はこ）」とはブラックボックスのことじゃな。

「x という数字を箱の中に放り込むと、箱の中で決まった加工が行われて、y という数字がポンと飛び出してくる」。

この「数を生み出す魔法の箱」だから「函数」と名付けられたのじゃよ。

後に当用漢字の制限で「関数」と書くようになったが、中身は「数字の変換マシン」のことなのじゃ。

うむ。小学校の「x が2倍になると y も2倍」というのは、表を「横」に眺めたときの規則性じゃな。

中学校の数学では、それを「縦」に眺める視点へと切り替えるのじゃ。

例えば、先ほどの「1個100円のリンゴを x 個買った代金 y 円」の表を作ってみようかの。

個数 x が1、2、3、4 と増えると、代金 y は 100、200、300、400 と増えていく。

横に見れば、確かに x が2倍、3倍になると、y も2倍、3倍になっておる。

では今度は、上下（縦）の関係を見てみるのじゃ。

どの列でも、y \div x（代金 ÷ 個数）を計算すると、いくつになるかの？

そうじゃ！

比例の本質は、「y \div x の値（割り算の商）が、いつでも絶対に変わらない」という点にあるのじゃよ。

分数の形で書けば、こうじゃな。

\dfrac{y}{x} = 100

この「商がいつでも一定である」という事実こそが、比例の真の姿なのじゃ。

まさにその通りじゃ！小学校の「単位量あたりの大きさ」が、ここで文字式と完璧に繋がったの。

このいつでも変わらない一定の数（今回の例なら100）のことを、一般化して文字 a と置くのじゃ。

すると、比例の関係は次のような分数の方程式で表せる。

\dfrac{y}{x} = a

ここで、前回の「方程式の変形（等式の性質）」を思い出すのじゃ。

両辺に x を掛けると、どうなるかの？

見事じゃ！

これが、比例の式が y = ax になる理由なのじゃよ。

比例定数 a とは、天下り式に覚える謎の文字ではなく、「x が1増えるごとに y がどれだけ増えるかという『1あたりのペース（単位量）』」を表しておるのじゃ。

「1あたりのペース a」に「個数 x」を掛ければ「全体の量 y」になる。

当たり前といえば、実に当たり前の式じゃろう。

反比例も、比例と全く同じように「縦の関係」を見抜けば、仕組みがよく分かるぞい。

世の中の多くの人が反比例でつまずくのは、「片方が増えたら、もう片方が減るのが反比例だ」と大雑把に思い込んでしまうからなのじゃ。

それだけでは不十分なのじゃよ。

例えば、「自分の年齢が1歳増えると、100歳までの残り寿命は1年減る」という関係を考えてみるのじゃ。

片方が増えると片方が減るが、これは反比例かの？

そうじゃろう。これは「足して100になる」という足し算・引き算の関係であって、反比例ではないのじゃ。

反比例の真髄は、「増える・減る」ではなく、「2つの数を掛け算すると、いつでも同じ数になる（積が一定）」という点にある。

そうじゃ。例えば「面積が12平方センチメートルの長方形」を思い浮かべるのじゃ。

横の長さを x cm、縦の長さを y cmとすると、面積はどう計算するかの？

そうじゃな。

• 横が 1 cm なら、縦は 12 cm。
• 横が 2 cm に増えたら、縦は 6 cm に縮む。
• 横が 3 cm に増えたら、縦は 4 cm に縮む。

どのペアを見ても、x \times y は絶対に 12 になるじゃろう。

このように、全体の総量（積）がガッチリ決まっていて、それを2人で分け合っている状態こそが反比例なのじゃよ。

その通りじゃ！

だから反比例の根本にある関係式は、掛け算の形で書けばこうなる。

xy = a

（a は決まった全体の総量、反比例の定数じゃ）

ここから、関数の標準ルールである「y = \text{式}（x を入れたら y が出る形）」にするにはどうすればよいかの？

お見事じゃ！

反比例が分数の式になるのは、もともと「x \times y = a（積が一定）」という掛け算のつり合いがあったからなのじゃ。

全体の面積 a を横の長さ x で割れば、縦の長さ y が求まる。

これも算数の面積計算と全く同じ原理なんじゃよ。

グラフの形にも、すべて数式が語っている必然的な理由があるのじゃ。

グラフとは、「式を満たす点 (x,\ y) を平面の上に隙間なく打ち並べた足跡」じゃからな。

まずは比例 y = 2x のグラフから考えてみようかの。

まず、x = 0 のとき、y はいくつになるかの？

そうじゃ。だから比例のグラフは、絶対に原点 (0,\ 0) をスタート地点として通るのじゃ。

次に、x を 1 ずつ増やしていくと、y はどう変化するか見てみるのじゃ。

x が 0 から 1 へ進むと、y は 0 から 2 へ「2」増える。

x が 1 から 2 へ進むと、y は 2 から 4 へ「2」増える。

x が 2 から 3 へ進むと、y は 4 から 6 へ「2」増える。

その通りじゃ。この「右に1進んだときの登る歩幅（変化の割合）」が、どこまで行っても常に a で一定なのじゃ。

歩幅の傾斜がずっと同じなのじゃから、途中で曲がりようがないじゃろう。

点を限りなく細かく打っていけば、階段の角が消えて、滑らかでまっすぐな一本の坂道（直線）になるのじゃよ。

それは、x の場所によって「落差」が全く違うからじゃ。

実際に数字を追ってみると一目瞭然じゃぞい。

• x = 1 のとき y = 12
• x = 2 のとき y = 6（落差は 6 急降下）
• x = 3 のとき y = 4（落差は 2）
• x = 4 のとき y = 3（落差は 1）
• x = 6 のとき y = 2（落差は 1）
• x = 12 のとき y = 1（落差はわずか 1）

そうじゃ！

最初は垂直に近いくらい急降下し、右へ行くほど緩やかな下り坂になっていく。

降りる勢い（傾き）が場所によってどんどん変わるからこそ、ピンと張った直線にはならず、しなやかなカーブ（曲線）を描くのじゃ。

鋭い観察じゃな！そこには算数からの大原則「0で割ってはいけない（ゼロ除算の禁止）」が潜んでおる。

式は y = \dfrac{12}{x} じゃったな。

もしグラフが y 軸と交わるとしたら、それは x = 0 の点じゃ。じゃが、分母に 0 を入れることは数学では許されておらん。

また、もし x 軸と交わるとしたら、それは y = 0 の点じゃが、12をどんな数で割っても答えが 0 になることは絶対にない。

だから、グラフは軸に向かって無限に近づいていくが、永久に触れ合うことはできないのじゃ。

それこそが、中学校で「負の数（マイナス）」を学んだ最大の恩恵なのじゃよ。

反比例の本質は「x \times y = 12（積がプラス12）」じゃったな。

正負の数の掛け算を思い出すのじゃ。「掛けてプラス」になる組み合わせは、プラス同士だけかの？

その通りじゃ！

x = -1 なら、y = -12 で (-1) \times (-12) = 12

x = -2 なら、y = -6 で (-2) \times (-6) = 12

このように、x がマイナスの世界でも、y がマイナスになることで、全く同じ形のカーブが左下（第3象限）に出現するのじゃ。

小学校では正の数しか知らなかったから右上の1本しか見えなかったが、負の数という新しい大地を手に入れたことで、原点を挟んで対称に向かい合う「2本でひと組の双曲線」として姿を現したのじゃよ。

そう言ってもらえると嬉しいのぅ。

数学において公式やグラフの形は、適当に決められたルールではなく、「数量同士のつながり」を突き詰めた結果として自然に現れる必然の姿なのじゃ。

今回の探究の重要ポイントを整理しておこうかの。

うむ。これで「文字と式」「方程式」「関数（比例・反比例）」という、中学校数学の代数分野の土台がしっかりと整ったの。

ここから先は、複数の数量の関係を同時に解き明かす「連立方程式」や、より高度な変化を捉える「一次関数」「二次関数」へと世界が広がっていくぞい。

焦らず、ひとつひとつの原理を楽しみながら歩みを進めていこうかの。