【中1数学】なぜ移項すると符号が変わるのか？等式の性質と解き方の原理

ふむ、文字式から方程式に進んだとき、誰もが真っ先にぶつかる大きな違和感じゃな。

「イコールを越えたら符号を変える」と呪文のように暗記させられると、まるで数学の勝手な押し付けのように感じてしまうの。

じゃが、移項で符号が変わるのは、決して勝手なルールではないのじゃよ。

イコールが持つ本来の意味である「天秤のつり合い」さえ分かれば、なぜ符号が変わるように見えるのか、その理由が自然と見えてくるはずじゃ。

今回も基本の原理から順番に紐解いていこうかの。

そこが最初の重要なポイントじゃ！

小学校の算数では「1 + 2 = 3」のように、計算結果を右に書くための矢印のようにイコールを見ていたかもしれん。

じゃが、数学におけるイコール（=）の本当の意味は、「左側（左辺）と右側（右辺）の大きさが全く同じで、釣り合っている」ということなのじゃ。

左右のお皿に物が乗っていて、ピッタリ水平につり合っている天秤を思い浮かべてみるのじゃ。

この天秤がつり合っているとき、釣り合いを崩さないために許される操作は何じゃと思う？

その通りじゃ！それこそが、数学で「等式の性質」と呼ばれる大原則なのじゃよ。

両辺に同じ数を足しても、両辺から同じ数を引いても、つり合いは絶対に崩れないのじゃ。

A = B \text{ ならば } A + C = B + C

A = B \text{ ならば } A - C = B - C

では、具体的な方程式で天秤を動かしてみようかの。

次の式を見てみるのじゃ。

x + 3 = 7

そうじゃ。方程式を解くというのは、最終的に「x = \text{数字}」の形にして、x の正体を突き止めることじゃ。

そのためには、左のお皿にある「+3」が邪魔じゃな。

この 3 を消すにはどうすればよいかの？

素晴らしい！その通りじゃ！天秤をつり合わせたまま左の 3 を消すには、「両辺から 3 を引く」必要があるのじゃ。

x + 3 - 3 = 7 - 3

すると、左辺は +3 - 3 = 0 になって x だけが残る。

そして右辺には、新しく「-3」が計算として残るじゃろう。

x = 7 - 3

x = 4

その通りなんじゃよ！

本当は「両辺から同じ 3 を引いた」だけなのじゃが、毎回「両辺から 3 を引いて……」と書くのは手間がかかるじゃろう？

だから人間は、途中の計算を省略して「左の数を符号を変えて右に移す（移項する）」という便利な解き方として扱うようになったのじゃ。

これも非常に多くの人がつまずくポイントじゃな。

「足されている数を消す操作」と、「掛けられている数を 1 にする操作」をごちゃ混ぜにしてしまっておるのじゃ。

「2x = 6」という天秤の状態を言葉で表してみるのじゃ。

前回の記事で学んだ通り、2x は「x が 2 個」という意味じゃったな。

つまり、左のお皿に「同じ重り x が 2 個」乗っていて、右のお皿に「6\text{ kg}」が乗っておるのじゃ。

そうじゃ。では、重り x「1 個分」の重さを知るには、お皿の重さをどうすればよいかの？引けば求まるかの？

大正解じゃ！天秤の左右をそれぞれ半分（\div 2）にすれば、つり合いを保ったまま x が 1 個分の重さになるじゃろう。

\dfrac{2x}{2} = \dfrac{6}{2}

x = 3

整理すると、方程式で天秤を操作するときは、次の 2 つを明確に使い分ける必要があるのじゃ。

どんなに式が長くなっても、やるべき手順は決まっておるのじゃ。

一次方程式は、次の 3 つのステップの順に進めれば確実に解けるぞ。

まずは仕分けじゃ。

「文字がついている項」はすべて左辺へ集め、「数字だけの項」はすべて右辺へ集めるのじゃ。

このとき、イコールをまたいで移動する項だけ、符号をひっくり返す（移項する）のじゃよ。

仕分けが終わったら、左辺と右辺をそれぞれ計算してまとめるのじゃ。

ここで使うのが、まさに前回学んだ「文字式の計算（同類項をまとめる）」じゃ！

左辺を計算して ax、右辺を計算して数字の b の形、つまり「ax = b」というシンプルな形に整理するのじゃ。

最後に、x の前についている数字（係数 a）で両辺を割るのじゃ。

これで「x = \text{答え}」が求まるぞ。

もし x の係数が負の数（マイナス）なら、マイナスの数字のまま両辺を割る点にだけ注意するのじゃ。

これこれ！待つのじゃすくぞう！

その書き方こそが、中学生が方程式でやってしまいがちな深刻な落とし穴じゃ！

計算結果が合っていても、その式の書き方は数学的に完全に間違いなのじゃよ。

イコールを横に繋げてしまうと、式の意味がどうなってしまうか見てみるのじゃ。

すくぞうの書いた式には、途中に「11 = 3x」という部分があるじゃろう？

11 と 3x は等しいかの？

そうなんじゃよ！

小学校の計算ドリルのクセで、計算した順にイコールを右へ右へと横に繋げてしまう人が多いのじゃが、イコールは「次の計算へ進む矢印」ではないのじゃ。

最初にも言った通り、イコールは「左右の皿がつり合っている天秤」じゃ。

横にイコールを何個も繋げると、全然つり合っていないもの同士をイコールで結ぶ大事故になってしまうのじゃよ。

方程式は、一行にイコールをひとつだけ使い、「下に改行してイコールを縦に揃えて書く」のが絶対の鉄則じゃ。

\begin{aligned} 3x - 4 &= 11 \\ 3x &= 11 + 4 \\ 3x &= 15 \\ x &= 5 \end{aligned}

このように、上から下へと天秤の状態を順番に記録していくのじゃ。

イコールの位置をノートのマス目で縦にピシッと揃えて書くと、左のお皿と右のお皿のバランスがひと目で分かり、移項の符号ミスや計算ミスも大幅に減るのじゃよ。

うむ、原理を納得して解くのと、ただ丸暗記して解くのとでは、これからの定着がまるで違うからの。

方程式とは、「つり合っている天秤から、いらないものを両側から下ろしていって、最後に残った重りの正体を見つけるゲーム」のようなものじゃ。

その調子じゃ！

計算の手順が身についたら、次はいよいよ「文章題」に挑戦するのじゃ。

「何を x と置けばいいのか」「どうやって文章からイコールの式を作るのか」という、文章題のコツを次回は一緒に見ていくとしようかの。