文章題が苦手でも立式できる！未知数xの置き方と等号の結び方

ふむ、方程式の計算は解けるのに、文章題になった瞬間に手が止まってしまうというのは、中学生が最も多く直面する壁のひとつじゃな。

「何を x に置けばいいのか」「どうやってイコールで繋げばいいのか」が分からず、立ち往生してしまうのじゃ。

じゃが、文章題で式が作れない原因は、頭の良し悪しではなく「算数の解き方」を引きずってしまっていることにあるのじゃよ。

文字と方程式の本当の役割を知れば、文章題は難しいどころか、算数よりもずっと素直に解ける道具だと分かってくるはずじゃ。

今回も基本の原理から、順番に紐解いていこうかの。

そこがまさに、算数と数学の決定的な違いなのじゃ。

まずは、問題文に対する「思考の向き」が真逆になっていることに気づく必要があるの。

小学校の算数の文章題を思い出すのじゃ。

例えば「1本70円の鉛筆を何本かと、120円の消しゴムを1個買ったら、代金の合計が470円でした。鉛筆は何本買いましたか？」という問題があったとする。

算数では、これをどうやって解いておったかの？

見事じゃな。じゃが、頭の中で何が起きていたか振り返ってみるのじゃ。

すくぞうは、「最後に起きた買い物」から逆戻りして、引き算や割り算を頭の中で組み立ててから式を書いたじゃろう？

これが算数の「逆算」の思考じゃ。

ゴール（合計金額）からスタート地点（鉛筆の本数）へ向かって、頭の中で計算の道筋を完全に組み立てなければ式が書けないのじゃ。

そうじゃろう。問題が少し複雑になって「何個か配ったら余って、別の配り方をしたら足りない」などとなると、頭の中の逆算がパンクしてしまうのじゃ。

それに対して、数学の方程式は「逆算」を一切必要としない。

問題文のストーリーの順番通りに、そのまま左から右へ言葉を並べるだけで式が完成するのじゃよ。

魔法ではないのじゃよ。文字 x を使うからこそできる技じゃ。

方程式の最大の強みは、「まだ分かっていない答えを、最初から分かったフリをして話を進められる」という点にある。

そうじゃ。鉛筆が何本か分からないなら、とりあえず「x 本買った」と決めてしまうのじゃ。

すると、買い物のお話は最初から最後まで普通の掛け算と足し算で語れるじゃろう。

「1本70円の鉛筆を x 本買ったから、鉛筆代は 70x 円」

「そこに120円の消しゴムを足したから、買い物の合計は 70x + 120 円」

「それが470円になったから、70x + 120 = 470」

どうじゃ？頭の中で逆算など1ミリもしていないじゃろう。

その通りじゃ。

小学校の算数は「式＝答え」を出すものじゃった。

じゃが、中学校の方程式は「問題文の場面を、そのまま文字でスケッチしたもの」なのじゃよ。

答えを出す計算は、式を立てた後で移項を使って天秤を動かせば、機械的に求まるのじゃ。

等号の結び方に迷ったときは、前回学んだ「天秤」の原則に立ち返るのじゃ。

イコールは「計算結果を書く矢印」ではなく、「左右がつり合っている」という状態を表す記号じゃったな。

文章題で方程式を立てる極意は、「同じひとつの数量を、2通りの別の表現で言い換える」ことじゃ。

左のお皿に乗せるものと、右のお皿に乗せるものは、見た目の式は違っていても「指し示している中身は全く同じもの」でなければならん。

例えば、先ほどの買い物の問題で言えば、注目した数量は「支払った代金の合計」じゃった。

左のお皿には「鉛筆代 70x 円 ＋ 消しゴム代 120 円」という計算の式を乗せた。

右のお皿には、レジで請求された「470 円」という金額を乗せた。

どちらも「今回の買い物で払う総額」という同じ数量を表しておるからこそ、イコールで結んで天秤がつり合うのじゃ。

70x + 120 = 470

左辺（品物の合計金額）と、右辺（実際の支払額）が、イコールでピッタリつり合っておるじゃろう。

立式が苦手な人は、いきなり x や数字を組み合わせて数式を作ろうとして混乱してしまうことが多い。

そうではなく、まずは日本語で「言葉の天秤」をノートに書き出してみるのをおすすめするのじゃ。

そうじゃ。数式にする前に、日本語だけでイコールの関係をメモするのじゃよ。

「鉛筆の代金 ＋ 消しゴムの代金 ＝ 合計金額」

このように言葉の骨組みを書いてから、それぞれの部分に x や数字を当てはめていく。

言葉の骨組みさえ正しければ、数式への翻訳で迷うことはなくなるのじゃ。

基本の手順を 4 つのステップに整理しておこうかの。

どんなに問題文が長くなっても、この 4 つの順序通りに進めれば確実に立式できるのじゃ。

まずは準備の第1歩じゃ。

何を x にしたのか、単位をつけて必ず答案の最初に書くのじゃよ。

「鉛筆の本数を x 本とする」「生徒の人数を x 人とする」のように明記する。

何を x にしたかが曖昧だと、途中で自分が何を計算しているのか見失ってしまうからのぅ。

問題文を読み、同じ数量を表している 2 つの事柄を見つけて、イコールで結んだ言葉の式を作るのじゃ。

• 「配った飴の総数 ＝ 用意した飴の総数」
• 「行きの道のり ＝ 帰りの道のり」

このように、左辺と右辺が同じものを指すように日本語で骨組みを作る。

骨組みができたら、いよいよ数式への翻訳じゃ。

手順2で作った言葉の式に、x や具体的な数値を当てはめて方程式を作る。

立式できたら、前回学んだ等式の性質（移項）を使って x の値を計算するのじゃ。

方程式の計算で出た数字が、現実の問題として意味が通るかを確認するのじゃ。

もし「鉛筆の本数」を求めているのに答えが「-3 本」や「2.5 本」になったら、どこかで立式か計算を間違えておる証拠じゃな。

問題の文脈に合っていることを確かめてから、単位をつけて答えを書くのじゃ。

では、中学校の数学でよく登場する代表的な 2 つのパターンで、実際に立式の手順を体験してみようかの。

まずは基本の買い物問題じゃ。

問題：

1個120円のりんごと、1個80円のみかんを合わせて10個買いました。

代金の合計が960円だったとき、りんごは何個買いましたか？

算数ならつるかめ算の仮定を使うところじゃな。

じゃが、方程式なら仮定など不要で、文章の通りに立式できるのじゃ。

先ほどの4ステップで進めてみるのじゃ。

手順1：未知数を置く

求めたいのは「りんごの個数」じゃから、これを x 個とおく。

すると、みかんの個数はどう表せるかの？合わせて10個買っておるのじゃ。

その通りじゃ！

では、手順2の言葉の式はどうなるかの？

大正解じゃ。

では、手順3としてこれを数式に翻訳してみるのじゃ。

素晴らしい！あとはこれを解くだけじゃ。

カッコを展開して整理してみようかの。

\begin{aligned} 120x + 800 - 80x &= 960 \\ 40x + 800 &= 960 \\ 40x &= 960 - 800 \\ 40x &= 160 \\ x &= 4 \end{aligned}

りんごは4個と出た。

みかんは 10 - 4 = 6 個じゃな。

確かめをしてみるのじゃ。

\begin{aligned} 120 \times 4 + 80 \times 6 &= 480 + 480 \\ &= 960 \end{aligned}

合計960円でピッタリ一致するじゃろう。

答えはりんご4個となるのじゃよ。

次につまずきやすいのが、「配ると余ったり足りなくなったりする」過不足の問題じゃ。

問題：

何人かの子どもに飴を配ります。

1人に4個ずつ配ると3個余り、1人に5個ずつ配ると2個足りなくなります。

子どもの人数と、飴の総数をそれぞれ求めなさい。

ここでも「言葉の天秤」が大活躍するのじゃ。

この問題で、配り方を変えても「絶対に変わらないもの」は何じゃと思う？

その通りじゃ！飴の全体の個数は、どんな配り方をしようと机の上に最初からある分量で一定じゃな。

つまり、天秤の左皿にも右皿にも「飴の全体の個数」を乗せればよいのじゃ。

「4個ずつ配ったときの飴の総数 ＝ 5個ずつ配ったときの飴の総数」

そうじゃ。

では、子どもの人数を x 人として、それぞれのお皿を数式に翻訳してみるのじゃ。

見事な翻訳じゃ！

どちらも同じ飴の総数を表しておるのじゃから、イコールで結べるじゃろう。

4x + 3 = 5x - 2

あとは、移項して天秤を操作するだけじゃ。

\begin{aligned} 4x - 5x &= -2 - 3 \\ -x &= -5 \\ x &= 5 \end{aligned}

x = 5 と求まったので、子どもの人数は5人じゃな。
では、飴の総数は何個になるかの？

完璧じゃ！子どもの人数は5人、飴の総数は23個じゃ。

「余るからプラス」「足りないからマイナス」と機械的に覚えるのではなく、「机の上にある実際の飴の数は何個なのか」を考えれば、自然と符号も決まるのじゃよ。

原理と手順が整理できたところで、実際に自分で手を動かして立式してみるのじゃ。

焦らずに「何を x と置くか」「言葉の天秤はどうなるか」から書き出してみようかの。

そう感じてもらえて何よりじゃ。

方程式の本質は、「複雑な思考の負担を、文字と等号という道具に肩代わりさせる」ことにあるのじゃよ。

頭の中だけで逆算を組み立てる必要はなく、場面をそのまま文字で写し取れば、あとは機械的な計算で自然と答えへ辿り着けるのじゃ。

今回の重要ポイントを整理しておこうかの。

文字を使って式を立て、方程式で答えを求める技が身についたの。

次は、数量が変化していく様子を捉える「比例・反比例」の世界へ進むとするかの。

なぜ y = ax という式になるのか、グラフがなぜ直線や双曲線になるのか、その仕組みをじっくり探究していこうかの。