平均変化率から微分係数へ！一瞬間で傾きが求まる理由を解説

ふむ、そうじゃな。
車が通過したその瞬間の写真を記録しておるの。

素晴らしい疑問じゃな、すくぞう。

時間が止まっている一瞬なのにスピードが存在する……
まさにそれこそが、人類が「微分」を発明した最大の動機なのじゃよ。

その通りじゃ。
今回は、2点間の大雑把な変化を表す「平均変化率」から、極限を使って一瞬の変化を捉える「微分係数」へのステップを順番に紐解いていくとしよう。

前回学んだ「極限（lim）」が大活躍するぞ。

では、身近な例で考えてみよう。

すくぞうが東京から大阪までの約500kmを、新幹線に乗って2時間半で移動したとするじゃろ？

このとき「500km ÷ 2.5時間 = 時速200km」と計算できるのじゃが、新幹線はずっと時速200kmぴったりで走り続けていたかの？

その通りじゃな。

全体をまとめて「平均したら時速200kmだった」というのが「平均の変化率」じゃ。
一方で、走っている最中にメーターが指している「まさに今この瞬間の速度」が「瞬間の変化率」なのじゃよ。

数学のグラフで言えば、曲線上の「2つの点を通る直線（割線）の傾き」が平均変化率じゃ。

そして、その2つの点を極限まで近づけて「1点での接線の傾き」にしたものが瞬間の変化率（微分係数）なのじゃよ。

まず、関数 y = f(x) のグラフ上で、x が a から a + h まで変化するときの平均変化率を式にしてみよう。
変化率は「y の増加量 ÷ x の増加量」じゃから、こう書けるのじゃ。

\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}

そうじゃ。ここで、前回のステップ1で学んだ最強の道具「極限（lim）」を合体させるのじゃ。
この幅 h をゼロに向かって限りなく近づけてみるぞ。

\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}

その通りじゃ。
h は完全なゼロではないから0割り事故は起きん。じゃが、2つの点はほぼ同じ場所まで近づくのじゃ。

2点を通っていた直線が、まるで1点だけでグラフに触れているような「接線」に変化するのじゃ。

見事な観察眼じゃ。この「平均変化率の幅 h を極限までゼロに近づけた値」のことを、x = a における「微分係数」と呼び、f'(a) という記号で書くのじゃよ。

f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}

うむ。
記号本来の名前はプライム（′）と言うのじゃが、日本の学校では慣習的に「ダッシュ」と呼ぶことが多いのじゃ。
この f'(a) こそが「瞬間の変化率」であり、時間の経過がゼロになる事故を回避しながら「その一瞬間における傾き（接線の傾き）」を数字として叩き出した結果なのじゃよ。

うむ、見事に整理できたの。

一瞬間であっても「幅を極限まで近づける」という発想を使うことで、数学的に傾きを計算できるようになったのじゃよ。

よい疑問じゃな。
毎回個別に計算しなくても、どんな x でも一発で接線の傾きがわかる「万能の関数」を作ることができるのじゃ。

それこそが次回学ぶ「導関数（どうかんすう）」じゃ。
次回は、導関数の公式と「dy/dx」という謎の記号の正体に迫っていくとしよう。