【数学Ⅱ】常用対数で桁数と最高位の数字を求める方法！なぜ1を足すのか解説

ふむ、巨大な数字のサイズに圧倒されたようじゃな！

じゃが、安心してよいぞ。人間が手計算できないような巨大な数や、微小な小数を綺麗に解剖するために生み出されたのが、底を 10 とする「常用対数（じょうようたいすう）」なのじゃ。

なぜ 1 を足すと桁数になるのか、そのからくりも原理から追っていけばスッキリ理解できるぞ。

その通りじゃ！
今回は常用対数の仕組みと、桁数・最高位の数字を順を追って割り出す決定原理を分かりやすく解説していくぞ。

常用対数とは、底が 10 である対数 \log_{10} N のことじゃ。

私たちが日常で使っている数字は、10 集まると位が上がる「十進法」じゃろ？

だから、底を 10 にすると、数字の「桁数（位の大きさ）」と対数の値が綺麗に一致するのじゃよ。

具体的な数で常用対数の値を調べてみるのじゃ。

\log_{10} 10 = 1 \quad (10^1 = 10 \quad \text{は2桁})

\log_{10} 100 = 2 \quad (10^2 = 100 \quad \text{は3桁})

\log_{10} 1000 = 3 \quad (10^3 = 1000 \quad \text{は4桁})

10 の累乗の数が綺麗に 1, 2, 3 と整数値になっているのが分かるかの？

そうじゃ。では、例えば 3 桁の数（100 から 999）の範囲を考えてみるのじゃ。

どんな 3 桁の数 N も、100 \leqq N < 1000 という範囲に挟まれるじゃろ？

これを 10 の累乗で書くと、次のようになるのじゃ。

10^2 \leqq N < 10^3

各辺の常用対数（\log_{10}）を取ると、底 10 > 1 だから大小関係は変わらず、次のようになるぞ。

2 \leqq \log_{10} N < 3

大正解じゃ！一般化すると、N が k 桁の数であるとき、常用対数 \log_{10} N の範囲は次のようになる。

k-1 \leqq \log_{10} N < k

つまり、\log_{10} N を計算して値が例えば 9.03 になったら、整数部分は 9 じゃな。9 \leqq \log_{10} N < 10 だから、10^9 \leqq N < 10^{10} となり、N は 10 桁の数だと分かるのじゃよ。

ここで活躍するのが、常用対数を計算したときに出てくる「小数部分」じゃ。

例えば、\log_{10} 2^{30} = 9.03 の場合、整数部分は 9、小数部分は 0.03 じゃな。

2^{30} = 10^{9.03} = 10^{0.03} \times 10^9

このように分解できるのじゃ。10^9 は桁数を決めるゼロの数じゃから、先頭の数字の並びを決めているのは前にある 10^{0.03} の部分なのじゃよ！

問題文に与えられているヒントの値と比較してみるのじゃ。

\log_{10} 1 = 0, \log_{10} 2 \approx 0.3010 じゃな。

小数部分 0.03 をこの2つの間で挟むと、次のようになる。

\log_{10} 1 \leqq 0.03 < \log_{10} 2

各辺を 10 の肩に乗せると、1 \leqq 10^{0.03} < 2 となる。10^{0.03} は 1.\text{〇〇} という数だと判明するのじゃ！

1 より小さい数の常用対数はマイナスの値になるのじゃ。

例えば \log_{10} 0.1 = -1, \log_{10} 0.01 = -2 じゃな。

小数第 p 位に初めて 0 でない数字が現れる条件は、次のように挟むことじゃ。

10^{-p} \leqq N < 10^{-p+1} \iff -p \leqq \log_{10} N < -p+1

計算結果が例えば -3.4 になった場合、帯分数のように -3.4 = -4 + 0.6 と「負の整数 ＋ 正の小数」の形に分解するのが最大のコツじゃぞ。

-4 \leqq -3.4 < -3 となるため、小数第 4 位に初めて 0 でない数字が現れると分かるのじゃ。

うむ、見事な到達じゃ！
常用対数の解剖テクニックをまとめておこう。

これにて、指数・対数分野の全8ステップがすべて完結したぞ！
本当によく頑張ったの。数学の基礎体力が大幅にアップしたはずじゃ！