博士！
y = 2^x のグラフを描こうとして x = 1, 2, 3 って代入していったら、値が2, 4, 8, 16… って急に大きくなりすぎて、ノートからはみ出ちゃうよ！
ふぉっふぉっ。
x が1増えるたびに2倍、2倍と増えていくからのぅ。プラスの方向に進むと、あっという間にグラフの上を突き抜けてしまうのじゃ。
プラスのときは急激に増えて描くのが大変だけど、反対に x がマイナスの方向（x = -1, -2）に進むとどうなっちゃうのかな？マイナスのときも同じように大きくなるの？
ほぅ、良い着眼点じゃな！
プラス側で跳ね上がるのに対して、マイナス側や x = 0 の「基準の点」でグラフがどう動くのかを順番に試してみると、指数の美しいルールが見えてくるのじゃよ。
指数関数とは？y = a^x の基本と必ず通る点
指数関数って、y = 2^x みたいに指数のところに変数 x が入っている関数のことだね？
その通りじゃ。
a > 0 かつ a \neq 1 とするとき、y = a^x で表される関数を「底を a とする指数関数」と呼ぶのじゃよ。
x にいろんな数を代入してみるね。
x = 1 のときは y = 2^1 = 2、x = 2 のときは y = 2^2 = 4、x = 3 のときは y = 2^3 = 8 になるんだね。
うむ。
x が1増えるごとに、y の値は2倍、2倍と掛け算で増えていくのじゃ。では、x = 0 のときはどうなるかの？
xに0を入れるとなぜyは1になるのか
あ！0乗のルールだね。
どんな数も0乗すると1になるから、x = 0 のとき y = 2^0 = 1 になるんだ！
その通りじゃ。
底 a がどんな数であっても、a^0 = 1 が成り立つのじゃ。
つまり、y = a^x のグラフは、底の値に関わらず「必ず点 (0, 1) を通る」という共通の性質を持っているのじゃよ。
なるほど！
だからy軸と交わる点（y切片）がいつも (0, 1) になるんだね。
xがどんな値でもyがプラスにしかならない理由
じゃあ、x にマイナスの数を代入するとどうなるの？x = -1 のときは y = 2^{-1} = \dfrac{1}{2} になるよね？
そうじゃな。
マイナス乗は分数の逆数になるのじゃったな。x = -2 のときは y = 2^{-2} = \dfrac{1}{4}、x = -3 のときは y = 2^{-3} = \dfrac{1}{8} となっていくのじゃ。
x を小さくしていくと、y の値はどんどん小さくなるけど……絶対に0にはならないんだね！
\dfrac{1}{8} とか \dfrac{1}{16} になるだけで、プラスのまま小さいくなっていくんだ。
素晴らしい気づきじゃな。
正の数 a を何乗しても、決して負の数や0にはならぬ。
そのため、y = a^x の値は常に y > 0 となり、グラフは x 軸（y = 0）にどこまでも近づくが、決して重ならないのじゃ。
このようにグラフが近づいていく直線のことを「漸近線（ぜんきんせん）」と呼ぶのじゃよ。
だから指数関数のグラフは、x 軸の上側にしか存在しなくて、x 軸が漸近線になるんだね！
底の大きさで形が変わる！2つのグラフパターン
ここまで分かれば、グラフの形を2つのパターンに分類できるぞい。
底 a が1より大きいか、それとも0と1の間かによって形が決まるのじゃ。
底が1より大きいとき（右肩上がりの急増加）
さっき計算した y = 2^x みたいに、底が a > 1 のときだね。
うむ。
a > 1 のときは、x の値が増加すると y の値も増加する「単調増加」のグラフになるのじゃ。x が右に行くほど上に急カーブで昇っていき、左に行くほど x 軸に近づいていく形じゃな。
y = 3^x だったら、y = 2^x よりももっと急なカーブになるってことかな？
その通りじゃ。
x > 0 のエリアでは y = 3^x の方が上に大きく増え、x < 0 のエリアではより早く x 軸に近づくのじゃよ。
底が0と1の間のとき（右肩下がりの急減少）
じゃあ、底が y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x みたいに 0 < a < 1 のときはどうなるの？
実際に数を代入してみるのじゃ。
x = 1 のとき y = \dfrac{1}{2}、x = 2 のとき y = \dfrac{1}{4} じゃな。
逆に x = -1 のときは y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1} = 2 になるの。
あ！
今度は x が増えるほど y が小さくなっていくんだ！右肩下がりのグラフになるね。
正解じゃ。
0 < a < 1 のときは x が増えると y が減少する「単調減少」のグラフになるのじゃよ。
そして面白いことに、y = \left(\dfrac{1}{2}\right)^x = 2^{-x} だから、y = 2^x のグラフと y 軸を挟んで左右対称（y 軸対称）の形になっているのじゃ。
指数関数のグラフが持つ3つの重要性質
底が1より大きいときと1より小さいときで向きは反対になるけど、共通する大事なルールがあるんだね。
うむ。
指数関数 y = a^x のグラフの性質を3つに整理しておこうかの。
1. 必ず点 (0, 1) と点 (1, a) を通る。
2. 漸近線は x 軸（直線 y = 0）であり、グラフ全体が常に y > 0 の領域にある（定義域は実数全体、値域は y > 0）。
3. a > 1 のときは右肩上がり（単調増加）、0 < a < 1 のときは右肩下がり（単調減少）となり、y = a^x と y = \left(\dfrac{1}{a}\right)^x のグラフは y 軸に関して対称である。
この3つのポイントを押さえておけば、グラフを描くときや性質を問われたときに迷わずに済むね！
演習問題
問題 1 の解答・解説
関数の定義に従い、主要な点の座標と漸近線、対称性を求めてグラフの性質を記述する。
y = 3^x について、x = 0 を代入すると y = 3^0 = 1、x = 1 を代入すると y = 3^1 = 3 となる。底が 3 > 1 であるため、x の増加に伴い y は単調に増加する。
y = \left(\dfrac{1}{3}\right)^x について、x = 0 を代入すると y = \left(\dfrac{1}{3}\right)^0 = 1、x = 1 を代入すると y = \left(\dfrac{1}{3}\right)^1 = \dfrac{1}{3} となる。底が 0 < \dfrac{1}{3} < 1 であるため、x の増加に伴い y は単調に減少する。
ここで y = \left(\dfrac{1}{3}\right)^x = (3^{-1})^x = 3^{-x} と変形できるため、y = \left(\dfrac{1}{3}\right)^x のグラフは y = 3^x のグラフの x を -x に置き換えたものであり、y 軸に関して互いに対称である。
どちらの関数も x 軸と交わらず、x の値を負の無限大または正の無限大へ動かすとき y の値は0に近づく。
したがって、求める値および性質は以下の通りである。
y = 3^x のy切片は点 (0, 1)、漸近線は x 軸（直線 y = 0）。
y = \left(\dfrac{1}{3}\right)^x のy切片は点 (0, 1)、漸近線は x 軸（直線 y = 0）。
2つのグラフの位置関係は、y 軸に関して線対称である。
問題 2 の解答・解説
一般に、関数 y = f(x) のグラフを x 軸方向に p、y 軸方向に q だけ平行移動したグラフの方程式は y - q = f(x - p)、すなわち y = f(x - p) + q と表される。
与えられた方程式 y = 2^{x-1} + 3 を変形すると、
y - 3 = 2^{x-1}
となる。
これは、y = 2^x の x を x - 1 に、y を y - 3 に置き換えたものであるため、y = 2^x のグラフを x 軸方向に 1、y 軸方向に 3 だけ平行移動したものである。
元の関数 y = 2^x の漸近線は y = 0（x 軸）であった。
グラフ全体が y 軸方向に 3 平行移動されるため、漸近線も y 軸方向に 3 移動する。（x 軸方向への移動は水平線である漸近線に影響を与えない）。
したがって、求める平行移動と漸近線は以下の通りである。
y = 2^x のグラフを x 軸方向に 1、y 軸方向に 3 だけ平行移動したもの。
漸近線の方程式は 直線 y = 3。
まとめ
指数関数のグラフって、数字をあてはめて形をイメージするとすごくスッキリ理解できたよ！(0,1)を通ることと漸近線の理由が分かれば怖くないね。
その通りじゃ。丸暗記ではなく、なぜその形になるのかの原理を押さえることが数学では何より大切じゃからの。次回は、この指数関数の「裏返しの関係」にあたる「対数（log）」の世界へ進んでいくのじゃよ。
対数（log）か！名前は聞いたことあるけど、どんな世界なのか楽しみだな！
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