【数学Ⅱ】三角関数のグラフとは？sin・cos・tanが波になる理由

ほぅ、三角関数のグラフじゃな。
一見すると円と波はまったく別物に見えるかもしれんが、実は円の回転運動を横軸に角度をとって引き伸ばして並べたものが、あの綺麗な波の正体なのじゃよ。

そうじゃ。前回の 「【数学Ⅱ】一般角と弧度法とは？なぜ度数法ではなくラジアンを使うのか」で学んだ単位円と弧度法（ラジアン）の考え方を使えば、なぜ波型になるのかが可視化されるぞ。
順番に紐解いていこう。

グラフというのは、横軸に角度 \theta、縦軸にそのときの値をとって、点を順番に打って結んだものじゃ。
単位円上の点の動きを追ってみるのじゃ。

その通りじゃ！
角度 \theta が 0 から \dfrac{\pi}{2}（90度）へ増えるとき、点の高さは 0 から 1 へ上がっていく。
さらに \pi（180度）へ回ると高さは 0 に戻り、\dfrac{3}{2}\pi（270度）で -1 まで下がり、2\pi（360度）で再び 0 に戻る。

見事じゃ！
これが y = \sin\theta の波の形のカラクリじゃな。

\cos\theta は単位円上の点の x 座標（横の位置）じゃったな。
角度 \theta = 0 のとき横の位置は最高値の 1 からスタートするぞ。

そうじゃ。
y = \sin\theta の波を左に \dfrac{\pi}{2} だけずらした形になるんじゃよ。

基本となる3つの関数 y = \sin\theta, y = \cos\theta, y = \tan\theta の性質を整理しておこう。

その通りじゃ。
この「同じ形を繰り返す最小の範囲（角度の長さ）」を『周期』と呼び、y = \sin\theta と y = \cos\theta の周期はどちらも 2\pi じゃ。

素晴らしい理解じゃ。

角度が \dfrac{\pi}{2}（90度）に近づくと、傾きは無限に大きくなって定義できなくなるじゃろ？

そのため、y = \tan\theta のグラフは波型ではなく、縦の破線（漸近線）に近づきながら上下に無限に伸びるカーブになるのじゃ。
周期は半周分の \pi で、漸近線は \theta = \dfrac{\pi}{2} + n\pi（n は整数）となるぞ。

どんなに複雑に見えても、基本の波を「上下に拡大・縮小」「左右に伸び縮み」「平行移動」しているだけじゃ。

y = a \sin b\theta を例に説明しよう。

1. 前の数字 a は「上下の倍率（振幅）」を表す。値域が -a \leqq y \leqq a に広がるぞ。

2. \theta の前の数字 b は「左右の伸び縮み」を表す。周期は元の 2\pi を b で割った \dfrac{2\pi}{b} に変化するのじゃ。

まさにその通りじゃ！

1周期を4等分する「5つの基準点」を先に打つのがコツじゃ。

y = \sin\theta なら、\theta = 0, \dfrac{\pi}{2}, \pi, \dfrac{3}{2}\pi, 2\pi の位置での y の値（0, 1, 0, -1, 0）に点を打ち、それらを滑らかな曲線で結ぶと綺麗な波が描けるぞ。

うむ、波の正体をつかめたようで頼もしいぞ。
この三角関数のグラフの周期性や振幅の性質は、波音や光、電気の交流など現実世界のあらゆる『波』の解析に応用されておるのじゃ。
次回は、角度を足し引きしたときの強力な公式『加法定理とその派生公式』について学んでいくとしよう。