博士！
120度とか135度みたいな鈍角の三角比を計算しろって問題が出てきたんだけど、直角三角形の中に120度なんて作れるわけないよ！
三角形の内角の和は180度なんだから、直角の90度と120度を足したらそれだけで210度になっちゃうよ！
ふぉふぉふぉ、素晴らしい着眼点じゃ！
まさにその通りで、90度以上の角度では直角三角形を作ること自体が不可能なのじゃ。
じゃあ、どうして \sin 120^\circ とか \cos 120^\circ なんてものが存在するの？
それはの、数学者たちが三角比の定義を「直角三角形の辺の比」から「円上の点の座標」へとレベルアップさせたからなのじゃよ。
円上の点の座標にレベルアップ？
うむ。
ここで登場するのが「単位円（半径1の円）」じゃ。
単位円を使えば、90度を超えた鈍角でも、0度や90度や180度でも、すべての角度の三角比が一発で決まるようになるのじゃよ。
直角三角形の限界と単位円が必要な理由
直角三角形で作れるのは、90度より小さい鋭角（0度〜90度）までだったんだね。
そうじゃ。
直角三角形は鋭角のときは非常に分かりやすいが、90度以上（鈍角）になると三角形が押しつぶされて作れなくなってしまうのじゃ。
だから、どんな角度でも扱える新しい共通のルールが必要になったんだね。
その通りじゃ。
その新しい共通ルールこそが、原点を中心とした半径 1 の円「単位円」なのじゃよ。
単位円で覚える三角比の新しい定義
x座標がcosでy座標がsinになる仕組み
単位円を使うと、三角比はどうやって決まるの？
xy 座標平面の上に、半径 1 の円を描いてみるのじゃ。
そして、原点から角度 \theta だけ回転した直線と、円が交わる点を P(x, y) とするのじゃよ。
原点から円周上の点 P に線を引くんだね。
そうじゃ。
このとき、点 P の「x 座標」と「y 座標」こそが、新しい三角比の定義なのじゃ！
\cos \theta = x \quad (\text{点}P\text{の}x\text{座標})
\sin \theta = y \quad (\text{点}P\text{の}y\text{座標})
\tan \theta = \dfrac{y}{x} \quad (\text{直線の傾き})
えっ！たったそれだけ？
x 座標がコサインで、y 座標がサインなの？
ふぉふぉふぉ、たったそれだけじゃ。
斜辺（半径）が 1 だから、ステップ1で学んだ「底辺が \cos、高さが \sin」という関係が、そのまま x 座標と y 座標に対応しておるのじゃよ。
なぜ鈍角でcosとtanがマイナスになるのか
あ！座標で考えるから、マイナスの値が出てくるんだね！
その通りじゃ！
鈍角（90度〜180度）のとき、点 P は xy 平面の左側（第2象限）に移動するじゃろ？
うん！
y 軸より左側に行くから、x 座標はマイナスになるね！
そうじゃ。
だから x 座標である \cos \theta は必ずマイナス（\cos \theta < 0）になるのじゃ。
y 座標は上側（プラスエリア）にあるから、\sin \theta はプラスのままだね！
見事じゃ！
そして \tan \theta = \dfrac{y}{x} は「プラス ÷ マイナス」になるから、タンジェントもマイナス（\tan \theta < 0）になるのじゃよ。
丸暗記じゃなくて、座標の領域（左右・上下）を見るだけでプラスマイナスが理由までスッキリ分かったよ！
0度・90度・180度の三角比の求め方
端っこの点（1,0）（0,1）（-1,0）の座標を見るだけ
直角三角形で作れなかった 0度、90度、180度の三角比も、単位円なら一発で求められるの？
うむ。単位円と各軸が交わる「端っこの点」の座標をそのまま読むだけじゃよ。
・0^\circ の点：座標は (1, 0)
\sin 0^\circ = 0, \quad \cos 0^\circ = 1, \quad \tan 0^\circ = 0
・90^\circ の点：座標は (0, 1)
\sin 90^\circ = 1, \quad \cos 90^\circ = 0
・180^\circ の点：座標は (-1, 0)
\sin 180^\circ = 0, \quad \cos 180^\circ = -1, \quad \tan 180^\circ = 0
本当だ！
x 座標と y 座標を読むだけだから暗記表なんて要らないね！
tan 90度において値が存在しない理由の再確認
ねぇ博士、90^\circ のとき \tan 90^\circ はどうなるの？
ステップ1で学んだことを思い出してみるのじゃ。
90^\circ の点 (0, 1) では x 座標が 0 じゃな。
あっ！
\tan \theta = \dfrac{y}{x} の分母 x が 0 になっちゃう！
そうじゃ。数学では0 で割ることが禁じられておるから、\tan 90^\circ の値は「存在しない（なし）」となるのじゃよ。
180度-θの公式を丸暗記しない方法
左右対称の折り返しとx座標・y座標の変化
教科書に \sin(180^\circ - \theta) = \sin \theta とか \cos(180^\circ - \theta) = -\cos \theta っていう公式が載っているんだけど、これも暗記しなきゃダメ？
これも暗記など不要じゃ！
単位円の上で y 軸を中心に「左右対称にパタンと折り返した図」をイメージするだけで一瞬じゃぞ。
y 軸を中心に左右対称に折り返す？
うむ。
例えば 150^\circ という角度は、180^\circ から 30^\circ 戻った角じゃな。
これは 30^\circ の点を左右反転させた点と同じ高さ・同じ距離になるのじゃ。
符号が変わる理由と公式の変換手順
左右対称に折り返すと、y 座標（高さ）は同じだけど、x 座標（左右）はプラスマイナスが逆（符号が逆）になるね！
その通りじゃ！
だから高さである \sin は同じ値のまま、横の長さである \cos と傾きである \tan だけにマイナスがつくのじゃよ。
\sin(180^\circ - \theta) = \sin \theta
\cos(180^\circ - \theta) = -\cos \theta
\tan(180^\circ - \theta) = -\tan \theta
なるほど！
120^\circ なら 180^\circ - 60^\circ だから、60^\circ の値と同じ数値で、\cos と \tan にマイナスを付ければいいんだね！
鈍角の三角比の基本演習
単位円を使った鈍角の計算問題にチャレンジしてみるよ！
問題 1 の解答
式：
120^\circ = 180^\circ - 60^\circ なので、単位円上で 60^\circ の点を y 軸に関して左右対称に折り返した位置になります。
60^\circ の直角三角形の辺の比は、斜辺 2、底辺 1、高さ \sqrt{3} です。
単位円上の点 P の座標は \left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) となります。
\sin 120^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}
\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}
\tan 120^\circ = \dfrac{\quad \dfrac{\sqrt{3}}{2} \quad}{-\dfrac{1}{2}} = -\sqrt{3}
答え：
\sin 120^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}、\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}、\tan 120^\circ = -\sqrt{3}
解説：
鈍角 120^\circ の三角比は、60^\circ の値をもとに考えます。
y 座標（\sin）はプラスのままですが、x 座標（\cos）および傾き（\tan）はマイナスになります。
問題 2 の解答
式：
単位円上で x 座標（\cos \theta）が -\dfrac{\sqrt{3}}{2} となる点を考えます。
x 座標がマイナスなので、角 \theta は鈍角（90^\circ < \theta < 180^\circ）になります。
x 軸との間の角度が 30^\circ となる位置なので、180^\circ - 30^\circ = 150^\circ となります。
答え：
\theta = 150^\circ
解説：
\cos \theta がマイナスの値をとるため、求める角 \theta は第2象限（鈍角）に存在します。
底辺が \sqrt{3}、斜辺が 2 となる基準の角は 30^\circ です。
180^\circ から 30^\circ 戻った角度であるため、\theta = 150^\circ と求まります。
まとめと次のステップ
単位円って「x 座標が cos、y 座標が sin」って覚えるだけで、鈍角でもマイナスの理由でも全部スッキリ理解できるんだね！
直角三角形で作れなかった 0度や 180度も座標を読むだけで一発だったよ！
ふぉふぉふぉ、大正解じゃ。
定義をレベルアップさせたことで、数学の視界が一気に広がったじゃろ。
次回は何を勉強するの？
次は、どんな形の三角形（鋭角でも鈍角でも）でも辺の長さや角度を計算できる「正弦定理と余弦定理」を見ていくとしようかの。
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