【数学Ⅰ】鈍角の三角比とは？なぜ単位円を使うのかと符号の理由

ふぉふぉふぉ、素晴らしい着眼点じゃ！
まさにその通りで、90度以上の角度では直角三角形を作ること自体が不可能なのじゃ。

それはの、数学者たちが三角比の定義を「直角三角形の辺の比」から「円上の点の座標」へとレベルアップさせたからなのじゃよ。

うむ。
ここで登場するのが「単位円（半径1の円）」じゃ。
単位円を使えば、90度を超えた鈍角でも、0度や90度や180度でも、すべての角度の三角比が一発で決まるようになるのじゃよ。

そうじゃ。
直角三角形は鋭角のときは非常に分かりやすいが、90度以上（鈍角）になると三角形が押しつぶされて作れなくなってしまうのじゃ。

その通りじゃ。
その新しい共通ルールこそが、原点を中心とした半径 1 の円「単位円」なのじゃよ。

xy 座標平面の上に、半径 1 の円を描いてみるのじゃ。
そして、原点から角度 \theta だけ回転した直線と、円が交わる点を P(x, y) とするのじゃよ。

そうじゃ。
このとき、点 P の「x 座標」と「y 座標」こそが、新しい三角比の定義なのじゃ！

\cos \theta = x \quad (\text{点}P\text{の}x\text{座標})

\sin \theta = y \quad (\text{点}P\text{の}y\text{座標})

\tan \theta = \dfrac{y}{x} \quad (\text{直線の傾き})

ふぉふぉふぉ、たったそれだけじゃ。
斜辺（半径）が 1 だから、ステップ1で学んだ「底辺が \cos、高さが \sin」という関係が、そのまま x 座標と y 座標に対応しておるのじゃよ。

その通りじゃ！
鈍角（90度〜180度）のとき、点 P は xy 平面の左側（第2象限）に移動するじゃろ？

そうじゃ。
だから x 座標である \cos \theta は必ずマイナス（\cos \theta < 0）になるのじゃ。

見事じゃ！
そして \tan \theta = \dfrac{y}{x} は「プラス ÷ マイナス」になるから、タンジェントもマイナス（\tan \theta < 0）になるのじゃよ。

うむ。単位円と各軸が交わる「端っこの点」の座標をそのまま読むだけじゃよ。

・0^\circ の点：座標は (1, 0)

\sin 0^\circ = 0, \quad \cos 0^\circ = 1, \quad \tan 0^\circ = 0

・90^\circ の点：座標は (0, 1)

\sin 90^\circ = 1, \quad \cos 90^\circ = 0

・180^\circ の点：座標は (-1, 0)

\sin 180^\circ = 0, \quad \cos 180^\circ = -1, \quad \tan 180^\circ = 0

ステップ1で学んだことを思い出してみるのじゃ。
90^\circ の点 (0, 1) では x 座標が 0 じゃな。

そうじゃ。数学では0 で割ることが禁じられておるから、\tan 90^\circ の値は「存在しない（なし）」となるのじゃよ。

これも暗記など不要じゃ！
単位円の上で y 軸を中心に「左右対称にパタンと折り返した図」をイメージするだけで一瞬じゃぞ。

うむ。
例えば 150^\circ という角度は、180^\circ から 30^\circ 戻った角じゃな。
これは 30^\circ の点を左右反転させた点と同じ高さ・同じ距離になるのじゃ。

その通りじゃ！
だから高さである \sin は同じ値のまま、横の長さである \cos と傾きである \tan だけにマイナスがつくのじゃよ。

\sin(180^\circ - \theta) = \sin \theta

\cos(180^\circ - \theta) = -\cos \theta

\tan(180^\circ - \theta) = -\tan \theta

ふぉふぉふぉ、大正解じゃ。
定義をレベルアップさせたことで、数学の視界が一気に広がったじゃろ。

次は、どんな形の三角形（鋭角でも鈍角でも）でも辺の長さや角度を計算できる「正弦定理と余弦定理」を見ていくとしようかの。