【中3数学】なぜ拡大しても角は同じ？相似条件の意味と合同との違い

うむ！中2の「合同」という強固な土台があるからこそ、中3の「相似」もスラスラと理解できるようになるぞい。

ほぅ！実に自然で鋭い着眼点じゃな。

多くの人が最初につまずく疑問じゃ。

なるほどのお。じゃが、もし角度まで2倍になってしまったら、元の図形の形はどうなってしまうと思うかの？

ふふふ、実は角度を変えてしまうと、図形の形そのものが完全に壊れてしまうのじゃよ。図形を拡大コピーする仕組みから、順番に見ていこうかの。

実際に計算してみると一発で分かるぞい。たとえば、3つの角が 30^\circ、60^\circ、90^\circ の直角三角形を考えてみるのじゃ。

もしすくぞうの言う通りに、すべての角を2倍に拡大してみたらどうなるかの？

その3つの角を全部足すと、何度になるかの？

その通りじゃ。しかも 180^\circ の角があるということは、折れ曲がらずに真っ直ぐな1本の直線になってしまうということじゃ。

三角形を作ることすらできんのじゃよ。

そうなんじゃ。「角」とは「線の長さ」ではなく、「2本の線の開き具合（向きのズレ）」を表しておる。開き具合を変えてしまったら、まったく別の形になってしまうのじゃよ。

その通りじゃ。

スマホで写真を見るとき、指を広げて画面を拡大することがあるじゃろ？

写真を拡大したとき、写っている人の顔が横にビヨーンと伸びたり、目の形が変わったりするかね？

それこそが「拡大」の本来の意味じゃ。

縦と横をまったく同じ割合で伸ばすからこそ、線の開き具合（角）は1ミリも変わらず、辺の長さだけが伸びるのじゃ。

見事な理解じゃ。

数学では、この「形は全く同じで、大きさだけが違う（拡大・縮小した）関係」のことを「相似（そうじ）」と呼ぶのじゃよ。

中2の合同は、「重ね合わせると完全に一致する関係」じゃったな。

つまり、形も大きさもまったく同じ図形のことじゃ。

では、拡大率がちょうど「1倍（拡大も縮小もしない）」の相似はどうじゃ？

その通りじゃ！合同とは、拡大率が1倍の「特別な相似」に過ぎないのじゃよ。

「相似」という広い世界の中に、「合同」という特別なケースがすっぽり含まれておるのじゃ。

仲間と分かれば話は早いの。相似な図形において、対応する辺の長さの比のことを「相似比」と呼ぶのじゃよ。

そうじゃ。たとえば、ある三角形の辺をすべて2倍に拡大した三角形があるとき、その2つの三角形の相似比は 1:2 と表す。

それは絶対に相似とは言えんの。写真の横だけを2倍に伸ばして、縦を3倍に伸ばしたら、写真が不自然に歪んでしまうじゃろ？

そうじゃな。すべての対応する辺が「同じ割合」で伸び縮みするからこそ、形が一切歪まないのじゃ。

だから相似な図形では、どの対応する辺を取っても、長さの比（相似比）は必ずすべて一定になるのじゃよ。

丸暗記する必要はまったくないぞい。

中2で学んだ合同条件と並べて見比べれば、自然と頭に入るのじゃ。

並べて見てみるのじゃ。

おお！そこに気づくとは、実に素晴らしい着眼点じゃな！

前回のステップ2で学んだことを思い出してみるのじゃ。三角形の内角の和は必ず 180^\circ じゃったな。

ということは、2つの角が決まれば、残りの3つ目の角も自動的に決まるじゃろ？

そうじゃ。つまり「2組の角が等しい」ということは、実質的に「3つの角がすべて等しい」ということなんじゃよ。

見事じゃ、すくぞう！まさにそこが核心なんじゃよ！合同では「大きさまで同じ」にする必要があったから、大きさを固定するために辺の長さが必要じゃった。

じゃが、相似は「大きさは違っていい（形だけ同じならいい）」のじゃ！

その通りじゃ！3つの角が決まれば、形は完全に1通りに決まる。

だから辺の長さを1本も測らなくても、たった「2組の角」が等しいだけで、絶対に相似であると言い切れるのじゃよ。

うむ！相似とは「形を変えずに大きさだけを変えること」じゃからな。

だから角度は変わらず、辺の長さだけが同じ比率（相似比）で伸び縮みするのじゃ。

その納得感こそが数学の醍醐味じゃな。さて、相似比とは「長さの比」のことじゃった。

では、辺の長さが2倍になったとき、その図形の「面積」は何倍になると思うかの？

ふふふ、多くの人がそう予想して罠にはまるのじゃ。

実は図形には「長さが2倍になると、面積は4倍、体積は8倍になる」という、次元の不思議なルールが潜んでおるのじゃよ。

その秘密は、次回ステップ4「相似比と面積比・体積比」でじっくり解き明かすとしようかの。