【数学Ⅰ】三角比の相互関係とは？3つの公式の意味となぜ成立するのか

ふぉふぉふぉ、公式が丸ごと3つも並んでいると身構えてしまうのじゃな。
じゃが、安心してよいぞ。
この3つの公式は、何ひとつ暗記する必要などないのじゃよ。

うむ。
ステップ1で学んだ「定義」と、中学で習った「三平方の定理」さえ知っていれば、いつでも自分自身の手で一瞬で作れるのじゃからな。

その通りじゃ。
まずは3つの公式の全体像を見てから、なぜそうなるのか理由を順番に解き明かしていくとしようかの。

次の3つが「三角比の相互関係」と呼ばれる重要公式じゃぞい。

\tan \theta = \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}

\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1

1 + \tan^2 \theta = \dfrac{1}{\cos^2 \theta}

見た目の複雑さに惑わされてはならんのじゃ。
なぜこの式が成り立つのか仕組みが分かれば、覚えるまでもないことがすぐ体感できるぞい。

ステップ1で学んだ目線からの定義を思い出してみるのじゃ。
視線（斜辺）を 1 としたとき、高さは \sin \theta、地面の距離（底辺）は \cos \theta だったの。

そして \tan \theta の役割は何じゃったかの？

その通りじゃ。
つまり \tan \theta = \dfrac{\text{高さ}}{\text{底辺}} じゃ。
そこに高さ \sin \theta と底辺 \cos \theta をそのまま当てはめるとどうなるかの？

ふぉふぉふぉ、定義そのものを分数で表しただけに過ぎんのじゃよ。

中学で習った直角三角形の「三平方の定理（ピタゴラスの定理）」を覚えているかの？
「（底辺）の二乗 ＋（高さ）の二乗 ＝（斜辺）の二乗」という公式じゃ。

ここで、視線（斜辺）の長さを 1 に固定した直角三角形を考えるのじゃ。
すると、底辺は \cos \theta、高さは \sin \theta になるの。

この直角三角形に三平方の定理をそのまま当てはめてみるのじゃ。

見事じゃ！
数学では (\sin \theta)^2 のことをカッコを省いて \sin^2 \theta と書く約束になっておるの。
順番を入れ替えれば、まさに \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 そのものじゃよ。

ふふふ、この3つ目の公式は、今作った2つ目の公式 \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 から秒で作れるのじゃ。

うむ。
公式2の「両辺を \cos^2 \theta で割る」のじゃよ。

その通りじゃ。
そして一番左の \dfrac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} は、公式1の \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta を二乗したものだから \tan^2 \theta に化けるのじゃよ。

ふぉふぉふぉ、順番を入れ替えれば 1 + \tan^2 \theta = \dfrac{1}{\cos^2 \theta} の完成じゃ。

その通りじゃ。
忘れたときは、次の2ステップで自分で作ればよいのじゃよ。

うむ。

ステップ1：三平方の定理「\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1」を書き出す。

ステップ2：その両辺を \cos^2 \theta で割る。

ふぉふぉふぉ、完璧じゃな。
公式は暗記するものではなく、仕組みを理解して使いこなすものなのじゃ。

次は、角度を90度を超えて広げていく「鈍角への拡張と単位円」を見ていくとしようかの。