博士！小学生の「底辺 × 高さ ÷ 2」は知ってるんだけど、高校数学で「サインを使った面積公式」とか「内接円の半径 r を求める公式」が出てきて、覚えることが多くて頭が重くなってきたよ。
ふぉふぉふぉ、一見すると難しそうな新しい公式に見えるのじゃが、心配いらんのじゃよ。
面積公式は小学生で習った「底辺 × 高さ ÷ 2」にサインを当てはめただけじゃし、内接円の半径は三角形を中心から3つに切っただけなのじゃからな。
えっ！
面積公式は「底辺 × 高さ ÷ 2」にサインを入れただけで、内接円の半径は三角形を3つに切っただけなの？
その通りじゃ。この2つの仕組みさえ分かれば、公式を丸暗記しなくても自力でいつでも作れるようになるぞい。
三角形の面積公式と3つの道具の役割
三角形の応用って、具体的にどんなことを計算するの？
主に次の3つの計算じゃな。
- 三角形の面積 S
- 外接円（外側にぴったり接する円）の半径 R
- 内接円（内側にぴったり接する円）の半径 r
順番に納得していこう！
三角形の面積公式S＝1/2bc sinA の導出となぜ成り立つのか
小学生の「底辺×高さ÷2」に高さh＝c sinAを当てはめる（面積公式の証明）
サインを使う面積公式「S = \dfrac{1}{2} bc \sin A」はどうやって生まれたの？
底辺が b、他の1辺が c、その間の角が A の三角形 ABC を考えるのじゃ。頂点 B から底辺 AC に向けて高さ h の垂線を降ろしてみるのじゃよ。
小学生の面積公式なら「底辺 b \times 高さ h \div 2」だから、S = \dfrac{1}{2} b h だね。
そうじゃ。ここで左側の直角三角形に注目すると、高さ h はステップ1のサインの定義からどう表せるかの？
斜辺が c で角度が A だから、h = c \sin A になる！
その通りじゃ。
この h = c \sin A を、小学生の公式 S = \dfrac{1}{2} b h の h にそのまま当てはめてみるのじゃ。
あ！！
S = \dfrac{1}{2} b (c \sin A) = \dfrac{1}{2} bc \sin A になった！！
2辺とその間の角（sin）が分かれば面積が出る理由
なんだ！
「底辺 × 高さ ÷ 2」の高さの部分を c \sin A に書き換えただけなんだね！
そうじゃ。
「2つの辺の長さ」と「その間の角のサイン」さえ分かれば、垂線の長さを直接測らなくても面積が計算できるのじゃよ。
外接円の半径Rと内接円の半径rの求め方
外接円の半径Rは正弦定理から求める
外接円の半径 R はどうやって求めるの？
外接円の半径 R は、ステップ4で学んだ正弦定理 \dfrac{a}{\sin A} = 2R をそのまま使えばよいのじゃ。
あ！正弦定理の式に外接円の半径 2R が元々入っているから、辺 a と \sin A が分かればすぐ計算できるね！
内接円の半径rは三角形を3つに分割して面積Sから逆算する（内接円公式の証明）
じゃあ、内接円の半径 r はどうやって求めるの？
三角形 ABC の内側にぴったり入る内接円（中心 I、半径 r）をイメージしてみるのじゃ。
うんうん。
中心 I から3つの頂点 A, B, C に線を引くと、大きな三角形が3つの小さな三角形（\triangle IBC, \triangle ICA, \triangle IAB）に分割されるじゃろ？
本当だ！3つの三角形に切れるね！
各小三角形の底辺は a, b, c で、高さはすべて内接円の半径 r になるのじゃ。
小三角形の面積はそれぞれ \dfrac{1}{2} ar、\dfrac{1}{2} br、\dfrac{1}{2} cr になるね！
この3つの面積を足し合わせると、元の全体の面積 S になるのじゃから、
S = \dfrac{1}{2} ar + \dfrac{1}{2} br + \dfrac{1}{2} cr = \dfrac{1}{2} r (a + b + c)
という公式が成り立つわけじゃ。
なるほど！
全体面積 S と3辺の長さ a, b, c が分かっていれば、この式から内接円の半径 r が逆算して求められるんだね！
公式を忘れたときに自力で導出する手順
高さhをサインで表して面積を作る手順
面積公式 S = \dfrac{1}{2} bc \sin A を忘れたら、どうすればいい？
「底辺 × 高さ ÷ 2」を描いて、高さ h = c \sin A を代入すればよいのじゃ。
中心から3分割して内接円半径rを作る手順
内接円半径 r の公式を忘れたら？
中心から3つの頂点に線を引いて3分割し、S = \dfrac{1}{2} r (a + b + c) を組み立てればよいのじゃよ。
三角形の応用（面積・外接円・内接円）の基本演習
仕組みが分かったから、実際の計算問題にチャレンジしてみるよ！
問題 1 の解答
式：
2辺 b, c とその間の角 A が分かっているため、面積公式 S = \dfrac{1}{2} bc \sin A に代入します。
S = \dfrac{1}{2} \times 5 \times 8 \times \sin 30^\circ
\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2} なので、
S = \dfrac{1}{2} \times 5 \times 8 \times \dfrac{1}{2} = 10
答え：
S = 10
解説：
2辺とその間の角のサインを用いることで、垂線の長さを直接計算することなく、面積を求められます。
問題 2 の解答
式：
内接円の半径の公式 S = \dfrac{1}{2} r (a + b + c) に代入します。
6\sqrt{6} = \dfrac{1}{2} \times r \times (5 + 6 + 7)
6\sqrt{6} = \dfrac{1}{2} \times r \times 18
6\sqrt{6} = 9r
両辺を 9 で割ると、
r = \dfrac{6\sqrt{6}}{9} = \dfrac{2\sqrt{6}}{3}
答え：
r = \dfrac{2\sqrt{6}}{3}
解説：
三角形を3分割した合計面積の考え方により、全体面積 S と3辺の長さから内接円の半径 r を逆算して求められます。
まとめと次のステップ
面積公式も内接円の半径 r も、小学生の面積計算や3分割から作られている理由が分かってスッキリしたよ！これで数学Ⅰの三角比はバッチリだね！
ふぉふぉふぉ、素晴らしいぞい。
これで数学Ⅰの「三角比」の基礎・応用はすべてマスターしたのじゃ。
次回は何を勉強するの？
次は、数学Ⅱの領域である「一般角と弧度法」に入り、360度を超える角度やラジアン（rad）という新しい単位を見ていくとしようかの。
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