dy/dxは分数か記号か？導関数の定義とx^nの微分公式を解説

ほぅ、どのあたりに面倒くささを感じたのじゃ？

ハハハ、実に素晴らしい着眼点じゃな、すくぞう！
「毎回個別に計算するのは大変じゃから、任意の場所 x での傾きを一発で叩き出す関数を作ろう」と考えて誕生したのが、今回学ぶ「導関数（どうかんすう）」なのじゃよ。

その通りじゃ。
さらに今回は、教科書に出てくる謎の記号 \dfrac{dy}{dx} は分数なのか記号なのかという疑問や、手早く微分を行うための公式まで順番に紐解いていくぞ。

違いは単純じゃ。
「微分係数 f'(a)」は特定のある1点（例えば x=2）における「具体的な傾きの数字」じゃ。
一方で「導関数 f'(x)」は、どんな x を入れても傾きが返ってくる「傾き算出マシーン（関数）」そのものなのじゃよ。

その通りじゃ。だから定義式も、前回の a を変数 x に変えるだけじゃ。

f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}

見事な理解じゃ。
関数 f(x) から導関数 f'(x) を作り出す操作のことを、数学では「微分する」と呼ぶのじゃよ。

それはな、ニュートンと並んで微分を発明した天才数学者ライプニッツが考案した記法なのじゃ。

絶対に約分してはならんぞ！

この d は文字ではなく、英語の difference（変化量）の頭文字をとったものじゃ。

つまり dx で「x のごくわずかな変化量」、dy で「y のごくわずかな変化量」を意味する一つの塊なのじゃよ。

鋭い視点じゃな。
本質的には「y の変化量 ÷ x の変化量」という割り算の構造から生まれておるから、分数のような性質も持っておる。

じゃが、文字単体で分離・約分はできない「微分を表すひとつの記号」として扱うのが正しいのじゃな。

その通りじゃ。

\dfrac{dy}{dx} は「y を x で微分する」という意味を持ち、f'(x) や y' と全く同じ意味を表しておるのじゃよ。

そこで登場するのが「微分の公式」じゃ。実は、x^n の形をした関数は、定義式を使わずに直接微分できる公式が存在するのじゃよ。

(x^n)' = n x^{n-1}

その通りじゃ。
たとえば x^2 を微分すると 2x^1 つまり 2x になり、x^3 を微分すると 3x^2 になるのじゃよ。

実際に f(x) = x^2 を定義式で計算してみるとよくわかるぞ。

f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}

分子の x^2 が引き算で消えて、残った 2xh + h^2 を h で約分すると 2x + h になる。最後に h \to 0 とすると、見事に 2x だけが残るのじゃ。

ふむ、見事な洞察力じゃ。

ちなみに定数（数字だけの項、例えば 5 など）は x が変化しても傾きが0じゃから、微分すると消えて 0 になるのじゃよ。

うむ、微分の基本ツールをこれで手に入れたのじゃな。

良い問いかけじゃな。
傾きさえ分かってしまえば、あとは高校1年で習った直線の公式と組み合わせるだけで、どんな曲線の接線も自由自在に引き出せるのじゃよ。

次回はステップ4「なぜ導関数から接線の方程式が求まるのか？」に進むとしよう。