【数学A】部屋分けと組分けの違いと解き方

ふむ、高校数学の組合せで多くの人が最初につまずく「部屋分けと組分け」の落とし穴じゃな。

鍵を握るのは「グループに名前（区別）があるかどうか」じゃ。まずは 「【数学A】組合せCの考え方や求め方は？」で学んだCの基本を思い出して、ゆっくり紐解いていこうかの。

まず、6人をA, B, Cの3つの部屋に2人ずつ分ける場合を考えてみようかの。

そうじゃ。
名前がついているため、入るメンバーが同じであっても、どの部屋に入るかによって結果が変わるのじゃ。
例えば「1番と2番がA部屋」「3番と4番がB部屋」「5番と6番がC部屋」に入る分け方と、「1番と2番がB部屋」「3番と4番がA部屋」に入る分け方は、全く別の出来事として区別されるぞ。

その通りじゃ。したがって、順番に部屋に入る人を選んでかけ合わせるだけで計算が完了するのじゃよ。

_6\mathrm{C}_2 \times _4\mathrm{C}_2 \times _2\mathrm{C}_2 = 15 \times 6 \times 1 = 90

この場合、グループに「A」「B」「C」という名前はないのじゃ。
「1番と2番」「3番と4番」「5番と6番」のペアができ上がっていれば、どの部屋に入っているかという区別は存在せん。

その通りじゃ。
グループそのものの並び順には意味がないため、選んだ組の並び替えの分だけ余分に数えられているのじゃよ。
だから「区別がない組分け」のときは、余分に数えてしまった並び順の数で割る必要があるのじゃ。

6人を2人ずつの3つの組に分けるとき、部屋分けの計算結果（90通り）の中にどれくらいの余分なカウントが含まれているか確認してみようかの。
例えば、ペアが｛1, 2｝｛3, 4｝｛5, 6｝の3つに決まったとするぞ。

その通りじゃ。
全く同じペアの組み合わせに対して、6通りずつの部屋の割り当て方が余分に数えられていたことになります。
他のどのペアを作っても、必ず3つの組の入れ替え順である 3! 通り（6通り）ずつ余分に数えられておるぞ。

完璧じゃ。
区別のない組分けの数がこれで正しく求まるのじゃよ。

部屋分けと組分けの問題を解くときは、次の2ステップで判断するぞ。

• ステップ1：グループに区別（名前）があるものとして、順にCで掛け合わせる。
• ステップ2：「同じ人数の組」がいくつあるかを確認し、その個数の階乗で割る。

「人数が異なる組」には割る必要がないということじゃ。
例えば「3人、2人、1人」に分ける場合、人数の違い自体がグループの区別になるため、組の名前がなくても余分なカウントは発生せん。
「同じ人数の組があるときだけ、その個数の階乗で割る」と覚えておくとよいぞ。

その通りじゃ。
名前があれば区別できるからそのまま掛け合わせる。
名前がなければ余分なカウントが発生するから、同じ人数の組の階乗で割るのじゃ。
公式を暗記するのではなく、組の並び替えで余分に数えていることを意識すればどんな設定でも解けるぞ。