【数学A】反復試行の確率公式はなぜCを掛けるのか？原理から理解する解き方

ほぅ、良い疑問じゃな。
多くの人が公式として丸暗記して通り過ぎるポイントじゃ。
実は C は確率を大きくするために乗算しているわけではなく、同じ確率になるパターンを足し合わせているのじゃよ。

順番に紐解いていこうかの。
まずは、そもそも反復試行とはどういう実験なのか、基本となる条件から確認しておこう。

その通りじゃ。
じゃが、単に繰り返すだけでは反復試行とは呼ばんのじゃ。
重要なのは、何回目であっても『毎回起こる確率が変わらない』ということじゃな。

そうじゃ。
1回目に何が出ようと、2回目の確率は変化しない。
これを数学では『独立な試行』と呼ぶのじゃ。
逆にくじ引きで『引いたくじを元に戻さない場合』は、残りの枚数が減って確率が変わるから、反復試行にはならないのじゃよ。

うむ。
この前提を理解したうえで、なぜ C が登場するのかを見ていくとしよう。

良い例じゃな。
3回投げて表が2回出る確率を、段階を追って解き明かしていこうかの。

まずは『表・表・裏』という特定の順番で出る確率を考えてみようかの。
コイン1回で表が出る確率は \dfrac{1}{2} 、裏が出る確率は 1 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} じゃな。

その通りじゃ。
一般化すると、成功する確率が p 、失敗する確率が 1-p のとき、特定の一つの並び順の確率は p^r (1-p)^{n-r} と表せるのじゃ。

よく気がついたの。
実際に書き出してみるかの。

うむ。
そして、どのパターンの確率もすべて \dfrac{1}{8} になるのじゃ。
この3パターンという数は、3回の試行枠の中から『表が出る2回の場所を選ぶ』ことと同じじゃな。

ここが最大のポイントじゃ。
3つのパターンは同時に起こることはないからのぅ。

その通りじゃ。
\dfrac{1}{8} を3回足すということは、\dfrac{1}{8} \times 3 と同じじゃろう？
つまり、\times _3 \mathrm{C}_2 というのは通り数を掛けて確率を大きくしているのではなく、『同じ確率になる _3 \mathrm{C}_2 個のパターンを足し合わせている』ということなのじゃ。

ほぅ、鋭い視点じゃな。
実は、何を並べているかに着目すると疑問が解けるぞい。

もし『第1回、第2回、第3回』という3つの試行枠に、2個の『表』を配置すると考えるのじゃ。
表同士は区別がつかないからのぅ。
『どの回で表を出すか』という場所を選ぶ操作になるのじゃよ。

そうじゃ。
3つの枠から表を入れる2つの枠を選ぶだけだから _n \mathrm{C}_r になるのじゃよ。

基本はバッチリじゃが、一つだけ多くの人がつまずく落とし穴があるぞい。
例えば『5回勝負で先に3勝した方が勝ち』というゲームで、5回目にA君が優勝する確率を求める問題じゃ。

そこが罠なのじゃ。
もし5回中3勝の計算をしてしまうと、『3回目までに3連勝してゲームが終わっているパターン』まで含まれてしまうのじゃよ。

その通りじゃ。
だから『4回目までに2勝しておき、5回目に絶対に勝つ』という構造に分けて考える必要があるのじゃよ。

うむ。
原理を理解していれば、こうした条件の変化にも惑わされずに対応できるぞい。

うむ。
公式を丸暗記するのではなく『1パターンの確率 × パターン数』という原理を理解しておけば、条件が変わった問題でも迷わずに解けるようになるぞい。