【数学B】二項分布って何？

ほう、二項分布じゃな！

名前は少し重々しいかもしれんが、実は「コイン投げ」や「〇✕クイズ」のような身近なゲームの話なんじゃよ。

順番に紐解いていこう。

まず「二項分布」という言葉の意味から整理してみよう。

「二項（にこう）」というのは、結果が「成功」か「失敗」かの2通り（2つの項目）しかないという意味じゃ。

例えば「コインを投げて表が出るか裏が出るか」「シュートが入るか外れるか」「問題に正解するか不正解するか」といった2択の試行のことじゃな。

この2択の試行を n 回繰り返すときの確率のルール（分布）を、英語の Binomial（二項）の頭文字をとって B(n, p) と書く。

n は挑戦する回数、 p は1回あたりの成功する確率（成功率）じゃ。

その通り！ 非常に見事な整理じゃ。

ここで、数学Aで習った「反復試行（はんぷくしこう）の確率」の知識がそのまま役に立つんじゃよ！

n 回のうち r 回成功する確率は、次の公式で計算できる。

P(X = r) = {}_n\mathrm{C}_r p^r (1-p)^{n-r}

{}_n\mathrm{C}_r は「n 回のうちどの r 回で成功するか」という場所の選び方、 p^r は r 回成功する確率、 (1-p)^{n-r} は残りの回数失敗する確率じゃな。

B(10, \dfrac{1}{2}) の二項分布で、表がちょうど4回（X = 4）出る確率を計算してみよう。

P(X = 4) = {}_{10}\mathrm{C}_4 \left(\dfrac{1}{2}\right)^4 \left(\dfrac{1}{2}\right)^6

{}_{10}\mathrm{C}_4 = 210 だから、 210 \times \dfrac{1}{1024} = \dfrac{105}{512}（約 20.5\%）と求まるわけじゃ。

ふふふ、そこが二項分布の最大の凄さなのじゃ！

実は、二項分布では面倒な表を作らなくても、公式一発で期待値と分散が計算できてしまうんじゃよ。

1回コインを投げたときの表が出る期待値は 1 \times p = p じゃな。

それを n 回繰り返すのだから、期待値は p を n 回足し合わせるだけでよい。

E(X) = np

例えば B(10, \dfrac{1}{2}) なら、 10 \times \dfrac{1}{2} = 5 回と一瞬で出るのじゃ！

前回の「2乗の平均 ひく 平均の2乗」の公式 V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2 を使えば一目瞭然じゃ！

1回だけ試行するとき、成功（1）と失敗（0）の対応表はこうなるじゃろ？

1. 期待値 E(X) は 1 \times p + 0 \times (1-p) = p じゃ。
2. 2乗の期待値 E(X^2) も、1^2=1 と 0^2=0 だから 1^2 \times p + 0^2 \times (1-p) = p になる。

これを前回の公式にあてはめると、

V(X) = p - p^2 = p(1-p)

と、簡単に求まるわけじゃな！

うむ！

1回の分散が p(1-p) だから、毎回独立した試行を n 回繰り返せば、分散も単純に n 倍足し算するだけでよい。

V(X) = np(1-p)

面倒な対応表を作らなくても、掛け算だけで分散まで出せてしまうのじゃよ。

そうじゃろ！

工場で大量の製品を作ったときの「不良品の個数予測」や、世論調査での「支持率のばらつき」など、社会のあらゆる場面でこの二項分布が使われているんじゃよ。

うむ！

離散的な確率分布の横綱である二項分布をマスターできたな。

次回は、いよいよサイコロのようなコマ切れの値ではなく、身長や時間のような「つながった値（連続型）」を扱う「確率密度関数（かくりつみつどかんすう）」の世界へ進むぞ。

なぜ「ピッタリ170cmになる確率は0」と言われるのか、その謎を解き明かしていこう。

次回は 「確率密度関数ってなに？」について解説していくぞ。