【平方根】ルートの大きさはどれくらい？大小比較と近似値の求め方

うむ、数の世界を広げる最初の一歩をしっかり踏み出せたようじゃな。

ふぉっふぉっふぉ、良い着眼点じゃな。

「専用の名前」をつけただけでは、数直線上のどこにあるのかピンとこないのは自然なことじゃ。

心配いらんぞい。ルートの中身と正方形の面積の関係を思い出せば、誰でも一目で大きさを比べられるシンプルなルールがあるのじゃ。

今回は、ルートの大きさを比べる方法と、その正体を正確に測る「挟み撃ちの原理」を順番に見ていこうかの。

すくぞう、1辺の長さが a の正方形と、1辺の長さが b の正方形を並べてみるのじゃ。

もし a より b の方が長かったら、面積はどうなるかの？

その通りじゃな。1辺が長ければ面積も広く、逆に面積が広ければ1辺も長い。当たり前のことじゃな。

では、面積が 3 の正方形の1辺と、面積が 5 の正方形の1辺では、どちらが長いかの？

見事じゃ。面積が 3 の正方形の1辺は \sqrt{3} であり、面積が 5 の正方形の1辺は \sqrt{5} じゃったな。

つまり、次の関係がそのまま成り立つということじゃ。

\sqrt{3} < \sqrt{5}

そうなんじゃよ。正の数においては、ルートの中身の大小関係が、そのまま全体の大小関係になる。

数式として一般化すると、次のように整理できるぞい。

a > 0,\ b > 0 \text{ のとき、 } a < b \text{ ならば } \sqrt{a} < \sqrt{b}

そこじゃな。形が違うものを比べるには、土俵をどちらか一方に揃えてやる必要がある。方法は2つあるのじゃよ。

1つ目は、「普通の整数をルートの形に変身させる」方法じゃ。

すくぞう、整数 3 をルートの記号を使って表すと、どうなるかの？

その通りじゃ。

すると、比べる問題は「\sqrt{9} と \sqrt{7} のどちらが大きいか？」に変わる。

大正解じゃ。

そして2つ目の方法は、「両方を2乗して比べる」方法じゃな。

3 を2乗すると 9、\sqrt{7} を2乗すると 7 になる。2乗した結果が 9 > 7 なのじゃから、もとの数も 3 > \sqrt{7} だと判断できるのじゃ。

うむ、自分の計算しやすい方を使えばよいぞい。

ただし、1つだけ重大な落とし穴がある。マイナスの符号がついた場合じゃ。

例えば、-\sqrt{3} と -\sqrt{5} はどちらが大きいかの？

そこに罠があるのじゃ！

中1で学んだ「負の数の大小」を思い出してみるのじゃ。

-3 と -5 では、どちらが大きいじゃったかの？

その通りじゃ。数直線の上では、右にある数ほど大きく、左にある数ほど小さい。

プラスの世界では \sqrt{3} < \sqrt{5} じゃが、マイナスがつくと不等号の向きが逆転するのじゃよ。

-\sqrt{3} > -\sqrt{5}

それこそが、昔の数学者たちが使った「挟み撃ち」という強力な道具の出番じゃ。

すくぞう、2乗すると綺麗にルートが外れる整数を、小さい順に言ってみるのじゃ。

うむ。では、今知りたい \sqrt{5} の「5」という数字は、その平方数のうち、どことどの数の間にあるかの？

そうじゃな。不等式で書けば次のようになる。

4 < 5 < 9

ここで、すべての数にルートをつけてみるのじゃ。さっき学んだように、中身の大小関係はルートをつけても変わらんからの。

\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}

その通りじゃ。\sqrt{5} の整数部分は 2 だと確定したわけじゃな。

このように、前後の「2乗の数」で挟み撃ちにしてやることで、どんなルートでも「およそどれくらいの大きさなのか」を見当づけられるのじゃよ。

それも全く同じ「挟み撃ち」の考え方を繰り返すだけで、どこまでも詳しく調べることができるのじゃ。

すくぞう、2.2 と 2.3 をそれぞれ2乗してみるのじゃ。

ふむ、5 という数字は、4.84 と 5.29 の間にあるじゃろ。

4.84 < 5 < 5.29

これにルートをつけると、どうなるかの？

見事な導出じゃよ。

実際には \sqrt{5} = 2.2360679\dots と無限に続いていくのじゃが、電卓がなくても、手計算の挟み撃ちだけでいくらでも精密な値に迫ることができるのじゃ。

それは何よりじゃ。

今回の最も大切な要点を整理しておこうかの。

完璧な振り返りじゃよ。数直線の上でルートがどこにあるのかを掴めれば、もうルート記号を恐れることはないぞい。

次回は、このルート同士を掛け算したり割り算したりする「平方根の乗除と変形」を見ていくのじゃよ。