【数学Ⅱ】加法定理の証明！単位円と2点間距離でわかる理由

よい疑問じゃな、すくぞう。
前回の「【数学Ⅱ】加法定理とは？丸暗記不要な理由と2倍角・半角の導出」では公式の使い方と2倍角への応用を扱ったが、今回は「なぜこの式が成り立つのか」という核心の証明に迫っていくぞ。

加法定理の証明は一見難しそうに見えるが、実は「単位円の上の2つの点の距離」を2通りの計算方法で求めるだけで、自然と導き出すことができるのじゃ。順番に流れを見ていこうかの。

まず、座標平面上に半径1の単位円を描く。
この円周上に、x軸の正の向きとのなす角が \alpha となる点Pと、角が \beta となる点Qをとってみよう。

その通りじゃ。
点Pの座標は (\cos \alpha,\ \sin \alpha)、点Qの座標は (\cos \beta,\ \sin \beta) となるの。

ここで、点Pと点Qを結ぶ線分PQの長さの2乗、つまり \text{PQ}^2 を計算してみる。この長さを求めるのに、2つのアプローチを使うのが証明の鍵じゃ。

1つ目は「座標を使った2点間の距離公式（三平方の定理）」じゃ。点P (\cos \alpha,\ \sin \alpha) と点Q (\cos \beta,\ \sin \beta) の距離の2乗を計算すると、次のようになる。

\text{PQ}^2 = (\cos \alpha - \cos \beta)^2 + (\sin \alpha - \sin \beta)^2

カッコを展開してみよう。

ここで、三角比の相互関係 \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 および \cos^2 \beta + \sin^2 \beta = 1 を使うと、式が非常にシンプルになるぞ。

\begin{aligned} \text{PQ}^2 &= 1 + 1 - 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) \\ &= 2 - 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) \end{aligned}

2つ目は「三角形OPQに対する余弦定理」じゃ。

原点Oと点P、点Qを結ぶ三角形OPQを考えると、辺OPの長さは1、辺OQの長さも1じゃな。
そして、角POQの大きさは \alpha - \beta になる。

この三角形OPQに余弦定理を当てはめると、線分PQの2乗は次のように表せるのじゃ。

\begin{aligned} \text{PQ}^2 &= 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(\alpha - \beta) \\ &= 2 - 2\cos(\alpha - \beta) \end{aligned}

その通りじゃ。だから、2つの式の右辺同士をイコールで結ぶことができる。

2 - 2\cos(\alpha - \beta) = 2 - 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)

両辺から2を引いて、-2で割ると、ついに目的の式が得られるぞ。

\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

一度 \cos(\alpha - \beta) の証明ができれば、残りの加法定理はわざわざ図を描き直さなくても、代入と変形だけで一気に導き出せるのじゃ。

\beta の部分に -\beta を代入してみるのじゃ。\alpha + \beta = \alpha - (-\beta) と考えられるからの。

\begin{aligned} \cos(\alpha + \beta) &= \cos\{\alpha - (-\beta)\} \\ &= \cos \alpha \cos(-\beta) + \sin \alpha \sin(-\beta) \\ &= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \end{aligned}

次に、sinの加法定理を導いてみよう。\sin \theta = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) という性質を利用するぞ。

\begin{aligned} \sin(\alpha + \beta) &= \cos\left\{\dfrac{\pi}{2} - (\alpha + \beta)\right\} \\ &= \cos\left\{\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) - \beta\right\} \\ &= \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) \cos \beta + \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) \sin \beta \\ &= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \end{aligned}

補足として、角 \alpha と \beta がともに鋭角（直角より小さい角）の場合に使える、直角三角形を重ね合わせた視覚的な証明も紹介しておこう。

すくぞうの言う通りじゃ！単位円を使って組み立てるのが一番自然で分かりやすいの。

まず単位円上に、角 \beta の動径との交点 A、角 \alpha + \beta の動径との交点 B を取るのじゃ。

その通りじゃ。
次に、点 B から角 \beta の辺（動径 OA）へ垂直な線を下ろして足 C を作ると、上側に角 \alpha（斜辺 OB ＝ 1）の1つ目の直角三角形 OBC ができるのじゃ。

このとき、底辺 OC の長さは \cos \alpha になるぞ。

見事じゃ！最後に、点 C から点 B の垂線に向かって真横に水平補助線を引くと、全体の高さが上下に分割されるのじゃ。

下の長さは2つ目の直角三角形の高さで \cos \alpha \sin \beta、上の長さは水平補助線によって新しくできる小さな直角三角形（斜辺 \sin \alpha、角 \beta）から計算して \sin \alpha \cos \beta となるぞ。

その通りじゃ！この2つの縦の長さを足し算すれば、そのまま \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta が導けるのじゃ。

うむ。丸暗記した公式は忘れやすいが、「単位円の距離」という根本の原理を理解しておけば、万が一公式を忘れても自力で導き出すことができる。
これが数学の本当の面白さじゃな。