博士！
分散って言葉が出てきたんだけど、なんだか難しそうな雰囲気で身構えちゃうよ。
ほう、身構える必要は全くないぞ。
分散を説明していく前に、大雑ばなイメージは分かるかの？
んー、散らばってる感じかな。
ジェンガが崩れてバラバラ散らばるみたいな？
だいたい合っとるのぅ！ そのイメージで十分じゃ。
まずはテストの点数を例にして、分散が何を教えてくれる値なのかを見ていこうか。
分散のイメージと役割
テストの平均点だけでは分からない「散らばり」
テストが返ってきたときに平均点が気になるかの？
自分の点数を見た後に気になるね。
平均より上だったら嬉しいし、下だったらガッカリするかな。
ふむ。じゃあ、こんな2つのクラスがあったらどうじゃ？
A組：全員がほぼ70点付近（68点〜72点）に固まっているクラス（平均70点）
B組：100点の人と40点の人に分かれているクラス（平均70点）
あ！ どちらも平均は70点だけど、点数のばらつき方は全然違うね！
A組はみんな同じくらいに揃ってるけど、B組は100点と40点に分かれていて差がすごく大きいよ。
そうじゃ！ 平均点だけを見ていては、この「点数のばらつき方（データの偏り）」が見えてこんのじゃ。
分散の値が大きい・小さいの意味
みんなの点数が平均からどれくらい離れているのか（散らばっているのか）を数値にしたのが「分散」じゃ。
- 分散の値が大きい：データが大きく散らばっている（B組のように点数の差が大きい）
- 分散の値が小さい：データがあまり散らばっておらず固まっている（A組のように点数が揃っている）
なるほど！
分散を見れば、平均点だけじゃ分からない「データの揃い具合や二極化」が分かるんだね！
分散の「なぜ？」を解消する3つの疑問
疑問1：なぜ絶対値ではなく「2乗」するのか？
分散が「データの散らばり具合」だということは分かったよ。
でも博士、平均からの離れ具合（偏差）を計算するとき、マイナスを消したいなら「絶対値」を使えばいいんじゃない？
\text{偏差} = \text{データ} - \text{平均点}
なんでわざわざ「2乗」なんてややこしいことをするの？
おお！ それはみんなが最初につまずく、極めて自然で鋭い疑問じゃな！
確かに「絶対値」を使えばマイナスは消えるし、実際「平均絶対偏差」という指標も存在する。
じゃが、数学や統計学で「2乗」が選ばれるのには、大きな理由が2つあるのじゃ。
理由1：数学的に扱いやすい（微分ができる）
絶対値のグラフはV字型に折れ曲がっておるのじゃ。折れ曲がった点は「微分」ができない。
あとで学ぶ「正規分布」など高度な数学で扱うとき、2乗の式（なめらかな放物線）にしておいた方が、計算が圧倒的にラクになるのじゃな。
理由2：大きなズレ（外れ値）に厳しいペナルティを与える
2乗すると、小さなズレは小さく、大きなズレはより一層大きく強調されるのじゃ。
あ！ 1の2乗は1だけど、5の2乗は25、10の2乗は100になるもんね！
そうじゃ。
「平均から大きく外れた危険なデータ」が存在するときに、2乗にしておくと分散の値が跳ね上がって、異変にすぐ気づけるのじゃよ。
「計算を扱いやすくするため」と「大きなズレをしっかり目立たせるため」に2乗を選んでいるんだね！
疑問2：なぜ「2乗の平均マイナス平均の2乗」で計算できるのか？
分散の求め方で、もうひとつ分からない公式があるんだ。
V(X) = (x\text{の2乗の平均}) - (x\text{の平均})^2
「2乗の平均」から「平均の2乗」を引くって、なんだかこんがらがるんだけど！
ハハハ！ 確かに初見ではややこしい公式じゃな。
じゃが、実際の計算ではこの公式が圧倒的に便利なのだ。
本来の定義どおり「全員のデータから平均を引いて、2乗して、全部足す」という計算は、平均が分数（例：\dfrac{20}{3} ）になったとき、データごとに分数の引き算や通分を何回も繰り返さねばならず、計算がとても大変になるじゃろ？
うわ、全員のデータから \dfrac{20}{3} を引いて通分して2乗するのを何回もやるのは大変だね！
そこで、分散の定義式を展開して整理すると、以下の関係が導かれるのじゃ。
V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2
※ E(X) は平均、E(X^2) は各データを2乗した値の平均を表します。
これを使えば、元の整数のまま各データを2乗して平均を求めたあと、最後に「平均の2乗」を1回引くだけで済むのじゃよ。
分数の引き算や通分を、最後の1回だけにまとめられるんだ！
計算を楽にするための裏ワザ公式だったんだね！
疑問3：データを何倍かしたり足したりしたら、分散はどうなる？
もうひとつ知りたいんだけど、全員のテストの点数に「＋10点」したり、「2倍」にしたりしたら、分散はどうなるの？
これまた素晴らしい疑問じゃな！ 将来「標準正規分布（標準化）」を学ぶときに、絶対に必要になる知識じゃ。
直感で考えてごらん。全員の点数を一律に「＋10点」したら、みんなの点数の間隔（散らばり具合）は変わるかの？
あ……全員がそのまま10点右にずれるだけだから、みんなの間隔（散らばり）は変わらないね！
その通りじゃ！ だから、定数を足しても分散は一切変わらないのじゃ。
V(X + 10) = V(X)
では、全員の点数を「2倍」にしたらどうなるかの？
間隔も2倍に広がるよね？ ってことは、分散も2倍？
惜しい！ 分散は「2乗の世界」であることを忘れてはならん。
間隔が2倍に広がると、2乗の平均である分散は「2の2乗倍」、つまり「4倍」になるのじゃ！
V(aX + b) = a^2 V(X)
あ！ 2乗して計算しているから、a倍すると a^2 倍になっちゃうんだね！
まとめ：分散から標準偏差へ
分散のイメージとモヤモヤが全部すっきりしたよ！
・分散のイメージ：平均点だけでは分からない「データの散らばり具合（揃い具合や二極化）」を表す。
・なぜ2乗するのか：絶対値だと微分できず、大きなズレも強調できないから。
・なぜ「2乗の平均 – 平均の2乗」なのか：分数の引き算や通分を最後の1回だけにまとめて計算を楽にするため。
・a倍するとどうなるか：2乗の世界だから a^2 倍になる。
見事なまとめじゃ！
じゃが最後にひとつだけ問題が残っておる。
分散は「2乗の世界」だから、単位も「点の2乗」や「cmの2乗」になってしまって、元のデータと直接比べられないのじゃ。
あ！ だから最後にルート（平方根）をかぶせて単位を元に戻すんだね！
そうじゃ。そのルートをかぶせた値こそが、次回学ぶ「標準偏差」じゃよ。
なるほど、標準偏差へ繋がった！
コメント