【中1数学】a+a=2aになるのはなぜ？日常の言葉からわかる文字式の足し算・引き算

ふむ、文字式を習い始めたばかりの人が必ずぶつかる疑問じゃな。

文字の足し算と掛け算が混ざってしまったり、なぜ数字が文字の前に来るのか不思議に思ったりするのは、ごく自然なことじゃ。

じゃが、実はこの「a + a = 2a」という仕組みは、みんなが毎日使っている日常の日本語の中に、最初からそのまま隠れておるのじゃよ。

新しく丸暗記しようとせず、すでに知っている言葉と比べながら順番に紐解いていこうかの。

ではまず、1 から 20 まで声に出して数を数えてみるのじゃ。

「10」と「20」の言い方に注目してみるのじゃ。

10 が 1 つあるとき、普段「いちじゅう」とは言わずに、単に「じゅう」と言うじゃろう？

そうじゃな。前回の記事で「1a の 1 は省略して a と書く」というルールを学んだのを覚えておるかの？

実は日本語でも、1 つのまとまりのときは自然と「いち」を省いて「じゅう」と呼んでおるのじゃ。

その通りじゃ。

そして、その 10 が 2 つ集まったとき、何と呼ぶかの？

そう、「じゅうに（12）」ではなく「にじゅう（20）」じゃな。

「10（じゅう）」というまとまりが「2 つ（に）」あるから、個数を表す「に」を前に置いて「に・じゅう」と呼ぶのじゃ。

もし個数の「に」を後ろに置いて「じゅう・に」と呼んでしまったら、10 + 2 = 12 という別の数になってしまうじゃろう。

文字式の「a + a = 2a」も、これと全く同じ仕組みなのじゃよ。

「a（えー）」というまとまりが「2 つ」あるから、個数を表す「2」を前に置いて「に・えー（2a）」と書くのじゃ。

「えー・に（a2）」と書かないのは、「20」を「じゅうに」と呼ばないのと同じことなのじゃよ。

それも日常の計算と全く同じじゃよ。

「10 + 20 = 30」という計算を言葉に直してみるのじゃ。

「じゅう（10）が 1 個」と、「にじゅう（20＝10 が 2 個）」を足したら、全部で 10 は何個になるかの？

その通りじゃな。では、それをそのまま文字に置き換えてみるのじゃ。

「a が 1 個」と、「2a（a が 2 個）」を足したらどうなるかの？

見事じゃ！引き算でも全く同じように考えられるぞ。

「30 - 10 = 20」は、「じゅうが 3 個」から「じゅうが 1 個」引くから「じゅうが 2 個（20）」になるじゃろう。

文字の式でも次のようになるのじゃ。

3a - a = 2a

そうじゃ。

数学では、文字の部分が全く同じ項のことを「同類項（どうるいこう）」と呼ぶのじゃが、名前は難しくてもやっておることは「同じまとまりが何個あるかを数えているだけ」なのじゃよ。

それは本当によくある間違いじゃな。

「足し算」と「掛け算」の違いを、頭の中のイメージで明確に区別しておくことが大切じゃ。

文字の「a」を「リンゴ 1 個」だと思って比べてみるのじゃ。

まず、足し算の「a + a」から考えてみようかの。

テーブルの上にリンゴが 1 個あって、そこにもう 1 個リンゴを持ってきたら、リンゴは何個になるかの？

そうじゃな。だから足し算の「a + a」は、「リンゴが 2 個」を表す「2a」になるのじゃ。

足し算は「個数が増える計算」じゃから、前の数字が変わるのじゃよ。

リンゴとリンゴを「掛ける」というのは、日常生活ではあり得ない計算じゃな。

そこで、図形の面積を思い出してみるのじゃ。

たてが a\text{ cm}、横が a\text{ cm} の正方形の面積を求めるとき、どんな計算をするかの？

その通りじゃ！同じ文字を掛け合わせると、長さから「面積」へと次元が変わり、右上に小さな「2」がつく「a^2」になるのじゃよ。

整理すると次のようになるのじゃ。

足し算：個数が増える計算

a + a = 2a

掛け算：同じものを掛け合わせる計算（累乗）

a \times a = a^2

ではここで、文字式の計算で多くの人が引っかかりやすい「やってはいけない間違い」を 2 つ確認しておこうかの。

ダメなんじゃよ。これもリンゴとミカンで考えてみるのじゃ。

a を「リンゴ」、b を「ミカン」としてみよう。

お皿の上にリンゴが 1 個と、ミカンが 1 個あるとき、それをまとめて「リンゴミカンが 1 個ある」とは言わんじゃろう？

その通りじゃ。違う文字は違う種類の仲間じゃから、足してひとまとめにすることはできないのじゃ。

掛け算なら「a \times b = ab」とくっつけて書くが、足し算の「a + b」はこれ以上計算できないから、そのまま「a + b」と書いておくのが正解なのじゃよ。

それは、「2a + 3」を「5a」にしてしまう間違いじゃ。

「2a」は「リンゴが 2 個」じゃな。

では、後ろの「3」は何じゃろう？文字がついていないただの「3」じゃ。

例えば「リンゴ 2 個」と「ただの 3 円」を足して、「リンゴ 5 個」にはならんじゃろう？

そうじゃ。文字がついているもの同士、数字だけのもの同士でしか足し引きはできないのじゃよ。

したがって、「2a + 3」もこれ以上まとめることはできず、そのままにしておくのが正しい計算なのじゃ。

そうじゃろう。数学の新しい記号も、人間が自然に使ってきた言葉や感覚をそのまま整理したに過ぎないのじゃよ。

「文字の部分はまとまりの名前」「前の数字は個数」と分かっておれば、もう文字の計算で迷うことはないはずじゃ。

うむ、実に頼もしいの。

文字式の計算がしっかりできるようになったら、次はいよいよ「方程式」の世界へ足を踏み入れるのじゃ。

例えば「x + 3 = 7」のような式で、左辺から右辺へ数字を引っ越すとき、なぜか符号がプラスからマイナスに変わる「移項（いこう）」というルールがあるのじゃが……次回はその仕組みを一緒に見ていくとしようかの。