【数学B】標準正規分布って何？

ふむ！

正規分布 N(m, \sigma^2) のままでは、「上位何%の位置にいるか」という確率がパッと見でわかりにくいのじゃ。

そこで、どんな正規分布でも計算できるように整えた「共通のものさし」が標準正規分布じゃな。

その通りじゃ！ 順を追って見ていこう。

まず「標準正規分布」について整理しよう。

世の中には、平均 60点・標準偏差 10点のテストもあれば、平均 170cm・標準偏差 5cm の身長データもある。

これらはすべて形や位置が異なる正規分布 N(m, \sigma^2) じゃ。

標準正規分布とは、これらの平均 m を 0 に、分散 \sigma^2（標準偏差 \sigma）を 1 に揃えた、特別な正規分布 N(0, 1^2) のことじゃ。

平均 0、分散 1 に統一しておけば、あらかじめ数学者が計算して作っておいた「正規分布表（正規分布の面積の数値一覧表）」がたった1枚あれば、世の中のあらゆる正規分布の確率が計算できるようになるのじゃ。

そこで使うのが、次の「標準化の公式」じゃ。

Z = \dfrac{X - m}{\sigma}

一見ただの数式に見えるが、引き算と割り算にそれぞれ重要な意味がある。

まず、分子の X - m じゃ。

これはデータ X が平均点 m からどれくらい離れているかを表しておる。

プラスの値が出れば平均より大きく、マイナスの値が出れば平均より小さいということじゃ。

データ全体から平均 m を引くことで、山の中央（平均値）がピッタリ 0 の位置へ平行移動する。

次に、その値を標準偏差 \sigma で割り算するのじゃ。

割り算には「等分する」という意味と「いくつ分か」という意味の2つがある。今回は後者の「いくつ分か」という意味じゃな。

平均からの離れ具合を \sigma で割ることで、「標準偏差の何個分離れているか」がわかるのじゃ。

例えば Z = 0.5 なら、「標準偏差の 0.5個分（半分）だけ平均より上に離れている」という意味じゃよ。

その通りじゃ。構造が整理できたな。

表の「見取り図」を頭の中に描けば迷わなくなるぞ！

教科書の正規分布表に載っている数値 p(z) は、「中央の 0 から 右側の z までの範囲の面積（確率）」を表しておる。

P(0 \leqq Z \leqq z) = p(z)

つまり、山の右半分の「一部のエリア」の面積が書いてあるわけじゃな。

そして、正規分布の山は左右対称で、全エリアの面積は合計で 1（100%）じゃったな？

ということは、中央の 0 より右側全体の面積も、左側全体の面積も、それぞれピッタリ 0.5（50%）になる。

そうじゃ！

例えば「z より右側（山の端っこ）の面積」を出したい時は、右側全体の 0.5 から表の数値 p(z) を引き算すればよい（0.5 - p(z)）。

逆に「z より左側（山全体の左側から z まで）の面積」を出したい時は、左半分の 0.5 に表の数値 p(z) を足し算すればよい（0.5 + p(z)）のじゃ。

公式の見た目に惑わされる必要はないぞ。

どの単元であっても、やっていることは「標準偏差のいくつ分、平均から離れているか」を知りたいだけじゃ。

元の分布（普通の正規分布、二項分布、標本平均の分布など）によって標準偏差 \sigma の求め方が変わるため公式の見た目が変わって見えるが、本質はすべて Z = \dfrac{X - m}{\sigma} の形と同じなのじゃよ。

うむ、要点が整理できたな。

標準正規分布を使った計算を押さえておけば、正規分布の基本的な扱い方は十分じゃ。

いよいよ次回は、本シリーズの最終回「母集団（ぼしゅうだん）って何？」に進むぞ。

世の中の全データを調べるのが難しいとき、一部のデータ（標本）から全体を推測する「統計的推測」の入り口を学んでいこう。

次回は 「母集団って何？」について解説していくぞ。